Интеграл sin(x)*e^x d{x}

1. Используем интегрирование по частям, отметим, что в конечном итоге подынтегральное выражение повторяется.

   1. Для подинтегрального выражения $e^{x} \sin{\left(x \right)}$:

      пусть $u{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}$.

      Затем $\int e^{x} \sin{\left(x \right)}\, dx = e^{x} \sin{\left(x \right)} - \int e^{x} \cos{\left(x \right)}\, dx$.

   2. Для подинтегрального выражения $e^{x} \cos{\left(x \right)}$:

      пусть $u{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}$.

      Затем $\int e^{x} \sin{\left(x \right)}\, dx = e^{x} \sin{\left(x \right)} - e^{x} \cos{\left(x \right)} + \int \left(- e^{x} \sin{\left(x \right)}\right)\, dx$.

   3. Обратите внимание, что подынтегральное выражение повторилось, поэтому переместим его в сторону:

      $2 \int e^{x} \sin{\left(x \right)}\, dx = e^{x} \sin{\left(x \right)} - e^{x} \cos{\left(x \right)}$

      Поэтому,

      $\int e^{x} \sin{\left(x \right)}\, dx = \frac{e^{x} \sin{\left(x \right)}}{2} - \frac{e^{x} \cos{\left(x \right)}}{2}$

2. Теперь упростить:

   $- \frac{\sqrt{2} e^{x} \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{\sqrt{2} e^{x} \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$- \frac{\sqrt{2} e^{x} \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$