Интеграл sin(3*x)*cos(x) d{x}

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(x \right)} = - 4 \sin^{3}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 3 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$

2. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \left(- 4 \sin^{3}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 4 \int \sin^{3}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

      1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

         Метод #1

         1. пусть $u = \sin{\left(x \right)}$.

            Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$:

            $\int u^{3}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

               $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{\sin^{4}{\left(x \right)}}{4}$

         Метод #2

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\sin^{3}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} = \left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$

         2. пусть $u = - \cos^{2}{\left(x \right)}$.

            Тогда пусть $du = 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$:

            $\int \left(\frac{u}{2} + \frac{1}{2}\right)\, du$

            1. Интегрируем почленно:

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \frac{u}{2}\, du = \frac{\int u\, du}{2}$

                  1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

                     $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

                  Таким образом, результат будет: $\frac{u^{2}}{4}$

               1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                  $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}$

               Результат есть: $\frac{u^{2}}{4} + \frac{u}{2}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{\cos^{4}{\left(x \right)}}{4} - \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}$

      Таким образом, результат будет: $- \sin^{4}{\left(x \right)}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 3 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 3 \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

      1. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$.

         Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$:

         $\int u\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \left(- u\right)\, du = - \int u\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{2}}{2}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{3 \cos^{2}{\left(x \right)}}{2}$

   Результат есть: $- \sin^{4}{\left(x \right)} - \frac{3 \cos^{2}{\left(x \right)}}{2}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \sin^{4}{\left(x \right)} - \frac{3 \cos^{2}{\left(x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$- \sin^{4}{\left(x \right)} - \frac{3 \cos^{2}{\left(x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$