Интеграл sin(5*x)*cos(x) d{x}

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\sin{\left(5 x \right)} \cos{\left(x \right)} = 16 \sin^{5}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 20 \sin^{3}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 5 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$

2. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 16 \sin^{5}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 16 \int \sin^{5}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

      1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

         Метод #1

         1. пусть $u = \sin{\left(x \right)}$.

            Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$:

            $\int u^{5}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

               $\int u^{5}\, du = \frac{u^{6}}{6}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{\sin^{6}{\left(x \right)}}{6}$

         Метод #2

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\sin^{5}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} = \left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$

         2. пусть $u = 1 - \cos^{2}{\left(x \right)}$.

            Тогда пусть $du = 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{u^{2}}{4}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{u^{2}}{2}\, du = \frac{\int u^{2}\, du}{2}$

               1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{u^{3}}{6}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right)^{3}}{6}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{8 \sin^{6}{\left(x \right)}}{3}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \left(- 20 \sin^{3}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 20 \int \sin^{3}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

      1. пусть $u = \sin{\left(x \right)}$.

         Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$:

         $\int u^{3}\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{\sin^{4}{\left(x \right)}}{4}$

      Таким образом, результат будет: $- 5 \sin^{4}{\left(x \right)}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 5 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 5 \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

      1. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$.

         Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$:

         $\int u\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \left(- u\right)\, du = - \int u\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{2}}{2}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{5 \cos^{2}{\left(x \right)}}{2}$

   Результат есть: $\frac{8 \sin^{6}{\left(x \right)}}{3} - 5 \sin^{4}{\left(x \right)} - \frac{5 \cos^{2}{\left(x \right)}}{2}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{8 \sin^{6}{\left(x \right)}}{3} - 5 \sin^{4}{\left(x \right)} - \frac{5 \cos^{2}{\left(x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{8 \sin^{6}{\left(x \right)}}{3} - 5 \sin^{4}{\left(x \right)} - \frac{5 \cos^{2}{\left(x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$