Господин Экзамен

Lang:

Другие калькуляторы

Как пользоваться?
Интеграл d{x}:
Интеграл sin(2*x)*sin(4*x)
Интеграл dx/2+sin(x)
Интеграл log(sin(x))*dx
Интеграл sin(n*x)
Идентичные выражения
sin(два *x)*sin(четыре *x)
синус от (2 умножить на x) умножить на синус от (4 умножить на x)
синус от (два умножить на x) умножить на синус от (четыре умножить на x)
sin(2x)sin(4x)
sin2xsin4x
sin(2*x)*sin(4*x)dx

Решение интегралов/ sin(2*x)*sin(4*x)

Интеграл sin(2x)sin(4*x) d{x}

Решение

Вы ввели [src]

  1                     
  /                     
 |                      
 |  sin(2*x)*sin(4*x) dx
 |                      
/                       
0

$$\int\limits_{0}^{1} \sin{\left(2 x \right)} \sin{\left(4 x \right)}\, dx$$

Упростить

Подробное решение

Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
Метод #1
1. пусть $u = 2 x$ .
  
  Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
  
  $\int \frac{\sin{\left(u \right)} \sin{\left(2 u \right)}}{4}\, du$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \frac{\sin{\left(2 u \right)} \sin{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \sin{\left(2 u \right)} \sin{\left(u \right)}\, du}{2}$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int 2 \sin^{2}{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}\, du = 2 \int \sin^{2}{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}\, du$
      
      пусть $u = \sin{\left(u \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = \cos{\left(u \right)} du$ и подставим $du$ :
      
      $\int u^{2}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{3}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{2 \sin^{3}{\left(u \right)}}{3}$
    Таким образом, результат будет: $\frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{3}$
  Если сейчас заменить $u$ ещё в:
  
  $\frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{3}$
Метод #2
1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
  
  $\int 2 \sin{\left(x \right)} \sin{\left(4 x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \sin{\left(x \right)} \sin{\left(4 x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$
  1. Перепишите подынтегральное выражение:
    
    $\sin{\left(x \right)} \sin{\left(4 x \right)} \cos{\left(x \right)} = - 8 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} + 4 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}$
  2. Интегрируем почленно:
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- 8 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 8 \int \sin^{4}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx$
      
      Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\sin^{4}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} = \left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)^{2} \left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)$
      
      пусть $u = 2 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $du$ :
      
      $\int \left(\frac{\cos^{3}{\left(u \right)}}{16} - \frac{\cos^{2}{\left(u \right)}}{16} - \frac{\cos{\left(u \right)}}{16} + \frac{1}{16}\right)\, du$
      
      Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos^{3}{\left(u \right)}}{16}\, du = \frac{\int \cos^{3}{\left(u \right)}\, du}{16}$
      
      Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\cos^{3}{\left(u \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(u \right)}\right) \cos{\left(u \right)}$
      
      пусть $u = \sin{\left(u \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = \cos{\left(u \right)} du$ и подставим $du$ :
      
      $\int \left(1 - u^{2}\right)\, du$
      
      Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int 1\, du = u$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{3}$
      
      Результат есть: $- \frac{u^{3}}{3} + u$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{3} + \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{48} + \frac{\sin{\left(u \right)}}{16}$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{\cos^{2}{\left(u \right)}}{16}\right)\, du = - \frac{\int \cos^{2}{\left(u \right)}\, du}{16}$
      
      Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\cos^{2}{\left(u \right)} = \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
      
      Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(2 u \right)}\, du}{2}$
      
      пусть $u = 2 u$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 du$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{2}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}$
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}$
      
      Результат есть: $\frac{u}{2} + \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u}{32} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{64}$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{\cos{\left(u \right)}}{16}\right)\, du = - \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{16}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin{\left(u \right)}}{16}$
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{16}\, du = \frac{u}{16}$
      
      Результат есть: $\frac{u}{32} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{64} - \frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{48}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{x}{16} - \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{48} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{64}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{x}{2} + \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{6} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int 4 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx = 4 \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx$
      
      Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} = \left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right) \left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)$
      
      пусть $u = 2 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $du$ :
      
      $\int \left(\frac{1}{8} - \frac{\cos^{2}{\left(u \right)}}{8}\right)\, du$
      
      Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{8}\, du = \frac{u}{8}$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{\cos^{2}{\left(u \right)}}{8}\right)\, du = - \frac{\int \cos^{2}{\left(u \right)}\, du}{8}$
      
      Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\cos^{2}{\left(u \right)} = \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
      
      Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(2 u \right)}\, du}{2}$
      
      пусть $u = 2 u$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 du$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{2}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}$
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}$
      
      Результат есть: $\frac{u}{2} + \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u}{16} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{32}$
      
      Результат есть: $\frac{u}{16} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{32}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{x}{8} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$
    Результат есть: $\frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{6}$
  Таким образом, результат будет: $\frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{3}$
Метод #3
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\sin{\left(2 x \right)} \sin{\left(4 x \right)} = - 16 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} + 8 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}$
2. Интегрируем почленно:
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- 16 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 16 \int \sin^{4}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx$
    1. Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\sin^{4}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} = \left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)^{2} \left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)$
    2. пусть $u = 2 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $du$ :
      
      $\int \left(\frac{\cos^{3}{\left(u \right)}}{16} - \frac{\cos^{2}{\left(u \right)}}{16} - \frac{\cos{\left(u \right)}}{16} + \frac{1}{16}\right)\, du$
      
      Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos^{3}{\left(u \right)}}{16}\, du = \frac{\int \cos^{3}{\left(u \right)}\, du}{16}$
      
      Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\cos^{3}{\left(u \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(u \right)}\right) \cos{\left(u \right)}$
      
      пусть $u = \sin{\left(u \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = \cos{\left(u \right)} du$ и подставим $du$ :
      
      $\int \left(1 - u^{2}\right)\, du$
      
      Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int 1\, du = u$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{3}$
      
      Результат есть: $- \frac{u^{3}}{3} + u$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{3} + \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{48} + \frac{\sin{\left(u \right)}}{16}$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{\cos^{2}{\left(u \right)}}{16}\right)\, du = - \frac{\int \cos^{2}{\left(u \right)}\, du}{16}$
      
      Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\cos^{2}{\left(u \right)} = \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
      
      Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(2 u \right)}\, du}{2}$
      
      пусть $u = 2 u$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 du$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{2}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}$
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}$
      
      Результат есть: $\frac{u}{2} + \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u}{32} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{64}$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{\cos{\left(u \right)}}{16}\right)\, du = - \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{16}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin{\left(u \right)}}{16}$
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{16}\, du = \frac{u}{16}$
      
      Результат есть: $\frac{u}{32} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{64} - \frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{48}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{x}{16} - \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{48} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{64}$
    Таким образом, результат будет: $- x + \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{3} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int 8 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx = 8 \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx$
    1. Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} = \left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right) \left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)$
    2. пусть $u = 2 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $du$ :
      
      $\int \left(\frac{1}{8} - \frac{\cos^{2}{\left(u \right)}}{8}\right)\, du$
      
      Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{8}\, du = \frac{u}{8}$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{\cos^{2}{\left(u \right)}}{8}\right)\, du = - \frac{\int \cos^{2}{\left(u \right)}\, du}{8}$
      
      Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\cos^{2}{\left(u \right)} = \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
      
      Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(2 u \right)}\, du}{2}$
      
      пусть $u = 2 u$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 du$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{2}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}$
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}$
      
      Результат есть: $\frac{u}{2} + \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u}{16} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{32}$
      
      Результат есть: $\frac{u}{16} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{32}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{x}{8} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}$
    Таким образом, результат будет: $x - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$
  Результат есть: $\frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{3}$
Добавляем постоянную интегрирования:

$\frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$

Ответ (Неопределённый) [src]

  /                              3     
 |                            sin (2*x)
 | sin(2*x)*sin(4*x) dx = C + ---------
 |                                3    
/

$${{\sin \left(2\,x\right)}\over{4}}-{{\sin \left(6\,x\right)}\over{ 12}}$$

Упростить

График

Построить график f(x)

Ответ [src]

  cos(4)*sin(2)   cos(2)*sin(4)
- ------------- + -------------
        3               6

$$-{{\sin 6-3\,\sin 2}\over{12}}$$

  cos(4)*sin(2)   cos(2)*sin(4)
- ------------- + -------------
        3               6

$$\frac{\sin{\left(4 \right)} \cos{\left(2 \right)}}{6} - \frac{\sin{\left(2 \right)} \cos{\left(4 \right)}}{3}$$

Упростить

Численный ответ [src]

0.250608981556331

0.250608981556331

График

Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Интеграл sin(2x)sin(4*x) d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Метод #1

Метод #2

Метод #3

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Интеграл sin(2*x)*sin(4*x) d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Метод #1

Метод #2

Метод #3

Интеграл sin(2x)sin(4*x) d{x}