Интеграл sin(4*x)^(4) d{x}

Решение

Вы ввели [src]

  1             
  /             
 |              
 |     4        
 |  sin (4*x) dx
 |              
/               
0

$$\int\limits_{0}^{1} \sin^{4}{\left(4 x \right)}\, dx$$

Упростить

Подробное решение

Перепишите подынтегральное выражение:

$\sin^{4}{\left(4 x \right)} = \left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(8 x \right)}}{2}\right)^{2}$
Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
Метод #1
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(8 x \right)}}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(8 x \right)}}{4} - \frac{\cos{\left(8 x \right)}}{2} + \frac{1}{4}$
2. Интегрируем почленно:
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \frac{\cos^{2}{\left(8 x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{2}{\left(8 x \right)}\, dx}{4}$
    1. Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\cos^{2}{\left(8 x \right)} = \frac{\cos{\left(16 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
    2. Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(16 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(16 x \right)}\, dx}{2}$
      
      пусть $u = 16 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 16 dx$ и подставим $\frac{du}{16}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{256}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{16}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{16}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{16}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(16 x \right)}}{16}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(16 x \right)}}{32}$
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$
      
      Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(16 x \right)}}{32}$
    Таким образом, результат будет: $\frac{x}{8} + \frac{\sin{\left(16 x \right)}}{128}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- \frac{\cos{\left(8 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(8 x \right)}\, dx}{2}$
    1. пусть $u = 8 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 8 dx$ и подставим $\frac{du}{8}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{64}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{8}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{8}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{8}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(8 x \right)}}{8}$
    Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16}$
  1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
    
    $\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}$
  Результат есть: $\frac{3 x}{8} - \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16} + \frac{\sin{\left(16 x \right)}}{128}$
Метод #2
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(8 x \right)}}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(8 x \right)}}{4} - \frac{\cos{\left(8 x \right)}}{2} + \frac{1}{4}$
2. Интегрируем почленно:
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \frac{\cos^{2}{\left(8 x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{2}{\left(8 x \right)}\, dx}{4}$
    1. Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\cos^{2}{\left(8 x \right)} = \frac{\cos{\left(16 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
    2. Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(16 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(16 x \right)}\, dx}{2}$
      
      пусть $u = 16 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 16 dx$ и подставим $\frac{du}{16}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{256}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{16}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{16}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{16}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(16 x \right)}}{16}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(16 x \right)}}{32}$
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$
      
      Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(16 x \right)}}{32}$
    Таким образом, результат будет: $\frac{x}{8} + \frac{\sin{\left(16 x \right)}}{128}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- \frac{\cos{\left(8 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(8 x \right)}\, dx}{2}$
    1. пусть $u = 8 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 8 dx$ и подставим $\frac{du}{8}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{64}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{8}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{8}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{8}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(8 x \right)}}{8}$
    Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16}$
  1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
    
    $\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}$
  Результат есть: $\frac{3 x}{8} - \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16} + \frac{\sin{\left(16 x \right)}}{128}$
Добавляем постоянную интегрирования:

$\frac{3 x}{8} - \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16} + \frac{\sin{\left(16 x \right)}}{128}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{3 x}{8} - \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16} + \frac{\sin{\left(16 x \right)}}{128}+ \mathrm{constant}$

Ответ (Неопределённый) [src]

  /                                             
 |                                              
 |    4               sin(8*x)   sin(16*x)   3*x
 | sin (4*x) dx = C - -------- + --------- + ---
 |                       16         128       8 
/

$${{{{{{\sin \left(16\,x\right)}\over{2}}+8\,x}\over{8}}-{{\sin \left(8\,x\right)}\over{2}}+2\,x}\over{8}}$$

Упростить

График

Построить график f(x)

Ответ [src]

                         3          
3   3*cos(4)*sin(4)   sin (4)*cos(4)
- - --------------- - --------------
8          32               16

$${{\sin 16-8\,\sin 8+48}\over{128}}$$

                         3          
3   3*cos(4)*sin(4)   sin (4)*cos(4)
- - --------------- - --------------
8          32               16

$$- \frac{3 \sin{\left(4 \right)} \cos{\left(4 \right)}}{32} - \frac{\sin^{3}{\left(4 \right)} \cos{\left(4 \right)}}{16} + \frac{3}{8}$$

Упростить

Численный ответ [src]

0.310915864924593

0.310915864924593

График

$Интеграл sin(4*x)^(4) d{x}$

Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Интеграл sin(4*x)^(4) d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Метод #1

Метод #2