Господин Экзамен

Lang:

Другие калькуляторы

Как пользоваться?
Интеграл d{x}:
Интеграл dx/x^(1/4)
Интеграл sin(4*x-3)
Интеграл sin(4*x)*cos(x)
Интеграл 4^x
Идентичные выражения
sin(четыре *x)*cos(x)
синус от (4 умножить на x) умножить на косинус от (x)
синус от (четыре умножить на x) умножить на косинус от (x)
sin(4x)cos(x)
sin4xcosx
sin(4*x)*cos(x)dx
Похожие выражения
sin(4*x)*cosx

Решение интегралов/ sin(4*x)*cos(x)

Интеграл sin(4x)cos(x) d{x}

Решение

Вы ввели [src]

  1                   
  /                   
 |                    
 |  sin(4*x)*cos(x) dx
 |                    
/                     
0

$$\int\limits_{0}^{1} \sin{\left(4 x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$$

Упростить

Подробное решение

Перепишите подынтегральное выражение:

$\sin{\left(4 x \right)} \cos{\left(x \right)} = - 8 \sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} + 4 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}$
Интегрируем почленно:
1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
  
  $\int \left(- 8 \sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 8 \int \sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx$
  1. Перепишите подынтегральное выражение:
    
    $\sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} = \left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}$
  2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
    Метод #1
    1. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$ :
      
      $\int \left(u^{4} - u^{2}\right)\, du$
      
      Интегрируем почленно:
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{3}$
      
      Результат есть: $\frac{u^{5}}{5} - \frac{u^{3}}{3}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$
    Метод #2
    1. Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}$
    2. Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx$
      
      пусть $u = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$ :
      
      $\int u^{4}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- u^{4}\right)\, du = - \int u^{4}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{5}}{5}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5}$
      
      пусть $u = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$ :
      
      $\int u^{2}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{3}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$
      
      Результат есть: $\frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$
    Метод #3
    1. Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}$
    2. Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx$
      
      пусть $u = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$ :
      
      $\int u^{4}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- u^{4}\right)\, du = - \int u^{4}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{5}}{5}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5}$
      
      пусть $u = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$ :
      
      $\int u^{2}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{3}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$
      
      Результат есть: $\frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$
  Таким образом, результат будет: $- \frac{8 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5} + \frac{8 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$
1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
  
  $\int 4 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx = 4 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx$
  1. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$ .
    
    Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$ :
    
    $\int u^{2}\, du$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$
      1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
        
        $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{3}$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$
  Таким образом, результат будет: $- \frac{4 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$
Результат есть: $- \frac{8 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5} + \frac{4 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$
Теперь упростить:

$- \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{6} - \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{10}$
Добавляем постоянную интегрирования:

$- \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{6} - \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{10}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$- \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{6} - \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{10}+ \mathrm{constant}$

Ответ (Неопределённый) [src]

  /                              5           3   
 |                          8*cos (x)   4*cos (x)
 | sin(4*x)*cos(x) dx = C - --------- + ---------
 |                              5           3    
/

$$-{{\cos \left(5\,x\right)}\over{10}}-{{\cos \left(3\,x\right) }\over{6}}$$

Упростить

График

Построить график f(x)

Ответ [src]

4    4*cos(1)*cos(4)   sin(1)*sin(4)
-- - --------------- - -------------
15          15               15

$${{4}\over{15}}-{{3\,\cos 5+5\,\cos 3}\over{30}}$$

4    4*cos(1)*cos(4)   sin(1)*sin(4)
-- - --------------- - -------------
15          15               15

$$- \frac{\sin{\left(1 \right)} \sin{\left(4 \right)}}{15} - \frac{4 \cos{\left(1 \right)} \cos{\left(4 \right)}}{15} + \frac{4}{15}$$

Упростить

Численный ответ [src]

0.403299197553752

0.403299197553752

График

Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Интеграл sin(4x)cos(x) d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Метод #1

Метод #2

Метод #3

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Интеграл sin(4*x)*cos(x) d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Метод #1

Метод #2

Метод #3

Интеграл sin(4x)cos(x) d{x}