Интеграл (6*x-10)^8 d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 6 x - 10$.

      Тогда пусть $du = 6 dx$ и подставим $\frac{du}{6}$:

      $\int \frac{u^{8}}{36}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{u^{8}}{6}\, du = \frac{\int u^{8}\, du}{6}$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{u^{9}}{54}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{\left(6 x - 10\right)^{9}}{54}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(6 x - 10\right)^{8} = 1679616 x^{8} - 22394880 x^{7} + 130636800 x^{6} - 435456000 x^{5} + 907200000 x^{4} - 1209600000 x^{3} + 1008000000 x^{2} - 480000000 x + 100000000$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 1679616 x^{8}\, dx = 1679616 \int x^{8}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{8}\, dx = \frac{x^{9}}{9}$

         Таким образом, результат будет: $186624 x^{9}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 22394880 x^{7}\right)\, dx = - 22394880 \int x^{7}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

         Таким образом, результат будет: $- 2799360 x^{8}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 130636800 x^{6}\, dx = 130636800 \int x^{6}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

         Таким образом, результат будет: $18662400 x^{7}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 435456000 x^{5}\right)\, dx = - 435456000 \int x^{5}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Таким образом, результат будет: $- 72576000 x^{6}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 907200000 x^{4}\, dx = 907200000 \int x^{4}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Таким образом, результат будет: $181440000 x^{5}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 1209600000 x^{3}\right)\, dx = - 1209600000 \int x^{3}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Таким образом, результат будет: $- 302400000 x^{4}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 1008000000 x^{2}\, dx = 1008000000 \int x^{2}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $336000000 x^{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 480000000 x\right)\, dx = - 480000000 \int x\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $- 240000000 x^{2}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 100000000\, dx = 100000000 x$

      Результат есть: $186624 x^{9} - 2799360 x^{8} + 18662400 x^{7} - 72576000 x^{6} + 181440000 x^{5} - 302400000 x^{4} + 336000000 x^{3} - 240000000 x^{2} + 100000000 x$

2. Теперь упростить:

   $\frac{256 \left(3 x - 5\right)^{9}}{27}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{256 \left(3 x - 5\right)^{9}}{27}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{256 \left(3 x - 5\right)^{9}}{27}+ \mathrm{constant}$