Интеграл (7-2*x)^3*dx d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 7 - 2 x$.

      Тогда пусть $du = - 2 dx$ и подставим $- \frac{du}{2}$:

      $\int \frac{u^{3}}{4}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \frac{u^{3}}{2}\right)\, du = - \frac{\int u^{3}\, du}{2}$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{4}}{8}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{\left(7 - 2 x\right)^{4}}{8}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(7 - 2 x\right)^{3} \cdot 1 = - 8 x^{3} + 84 x^{2} - 294 x + 343$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 8 x^{3}\right)\, dx = - 8 \int x^{3}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Таким образом, результат будет: $- 2 x^{4}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 84 x^{2}\, dx = 84 \int x^{2}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $28 x^{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 294 x\right)\, dx = - 294 \int x\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $- 147 x^{2}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 343\, dx = 343 x$

      Результат есть: $- 2 x^{4} + 28 x^{3} - 147 x^{2} + 343 x$

2. Теперь упростить:

   $- \frac{\left(2 x - 7\right)^{4}}{8}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{\left(2 x - 7\right)^{4}}{8}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$- \frac{\left(2 x - 7\right)^{4}}{8}+ \mathrm{constant}$