Интеграл 5*x*e^x d{x}

1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int 5 x e^{x}\, dx = 5 \int x e^{x}\, dx$

   1. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left(x \right)} = x$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}$.

      Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

      Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

      1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

         $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

      Теперь решаем под-интеграл.

   2. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

      $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

   Таким образом, результат будет: $5 x e^{x} - 5 e^{x}$

2. Теперь упростить:

   $5 \left(x - 1\right) e^{x}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $5 \left(x - 1\right) e^{x}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$5 \left(x - 1\right) e^{x}+ \mathrm{constant}$