Интеграл (1+2*x^2)/x d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 2 x^{2}$.

      Тогда пусть $du = 4 x dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{u + 1}{4 u}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{u + 1}{2 u}\, du = \frac{\int \frac{u + 1}{u}\, du}{2}$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\frac{u + 1}{u} = 1 + \frac{1}{u}$

         2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int 1\, du = u$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

            Результат есть: $u + \log{\left(u \right)}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{u}{2} + \frac{\log{\left(u \right)}}{2}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $x^{2} + \frac{\log{\left(2 x^{2} \right)}}{2}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{2 x^{2} + 1}{x} = 2 x + \frac{1}{x}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 2 x\, dx = 2 \int x\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $x^{2}$

      1. Интеграл $\frac{1}{x}$ есть $\log{\left(x \right)}$.

      Результат есть: $x^{2} + \log{\left(x \right)}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $x^{2} + \frac{\log{\left(2 x^{2} \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$x^{2} + \frac{\log{\left(2 x^{2} \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$