Интеграл ((1-z)/z)^2 d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(\frac{1 - z}{z}\right)^{2} = 1 - \frac{2}{z} + \frac{1}{z^{2}}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, dz = z$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \frac{2}{z}\right)\, dz = - 2 \int \frac{1}{z}\, dz$

         1. Интеграл $\frac{1}{z}$ есть $\log{\left(z \right)}$.

         Таким образом, результат будет: $- 2 \log{\left(z \right)}$

      1. Интеграл $z^{n}$ есть $\frac{z^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

         $\int \frac{1}{z^{2}}\, dz = - \frac{1}{z}$

      Результат есть: $z - 2 \log{\left(z \right)} - \frac{1}{z}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(\frac{1 - z}{z}\right)^{2} = \frac{z^{2} - 2 z + 1}{z^{2}}$

   2. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{z^{2} - 2 z + 1}{z^{2}} = 1 - \frac{2}{z} + \frac{1}{z^{2}}$

   3. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, dz = z$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \frac{2}{z}\right)\, dz = - 2 \int \frac{1}{z}\, dz$

         1. Интеграл $\frac{1}{z}$ есть $\log{\left(z \right)}$.

         Таким образом, результат будет: $- 2 \log{\left(z \right)}$

      1. Интеграл $z^{n}$ есть $\frac{z^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

         $\int \frac{1}{z^{2}}\, dz = - \frac{1}{z}$

      Результат есть: $z - 2 \log{\left(z \right)} - \frac{1}{z}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $z - 2 \log{\left(z \right)} - \frac{1}{z}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$z - 2 \log{\left(z \right)} - \frac{1}{z}+ \mathrm{constant}$