Интеграл ((1-x)^3)/3 d{x}

1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int \frac{\left(1 - x\right)^{3}}{3}\, dx = \frac{\int \left(1 - x\right)^{3}\, dx}{3}$

   1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть $u = 1 - x$.

         Тогда пусть $du = - dx$ и подставим $- du$:

         $\int u^{3}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \left(- u^{3}\right)\, du = - \int u^{3}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

               $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{4}}{4}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{\left(1 - x\right)^{4}}{4}$

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\left(1 - x\right)^{3} = - x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 1$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \left(- x^{3}\right)\, dx = - \int x^{3}\, dx$

            1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

               $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{x^{4}}{4}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int 3 x^{2}\, dx = 3 \int x^{2}\, dx$

            1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

               $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

            Таким образом, результат будет: $x^{3}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \left(- 3 x\right)\, dx = - 3 \int x\, dx$

            1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

               $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{3 x^{2}}{2}$

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int 1\, dx = x$

         Результат есть: $- \frac{x^{4}}{4} + x^{3} - \frac{3 x^{2}}{2} + x$

   Таким образом, результат будет: $- \frac{\left(1 - x\right)^{4}}{12}$

2. Теперь упростить:

   $- \frac{\left(x - 1\right)^{4}}{12}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{\left(x - 1\right)^{4}}{12}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$- \frac{\left(x - 1\right)^{4}}{12}+ \mathrm{constant}$