Интеграл (1-3*x)^4 d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 1 - 3 x$.

      Тогда пусть $du = - 3 dx$ и подставим $- \frac{du}{3}$:

      $\int \frac{u^{4}}{9}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \frac{u^{4}}{3}\right)\, du = - \frac{\int u^{4}\, du}{3}$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{5}}{15}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{\left(1 - 3 x\right)^{5}}{15}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(1 - 3 x\right)^{4} = 81 x^{4} - 108 x^{3} + 54 x^{2} - 12 x + 1$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 81 x^{4}\, dx = 81 \int x^{4}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{81 x^{5}}{5}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 108 x^{3}\right)\, dx = - 108 \int x^{3}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Таким образом, результат будет: $- 27 x^{4}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 54 x^{2}\, dx = 54 \int x^{2}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $18 x^{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 12 x\right)\, dx = - 12 \int x\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $- 6 x^{2}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, dx = x$

      Результат есть: $\frac{81 x^{5}}{5} - 27 x^{4} + 18 x^{3} - 6 x^{2} + x$

2. Теперь упростить:

   $\frac{\left(3 x - 1\right)^{5}}{15}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{\left(3 x - 1\right)^{5}}{15}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{\left(3 x - 1\right)^{5}}{15}+ \mathrm{constant}$