Интеграл 1-cos(4*x) d{x}

1. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int 1\, dx = x$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \left(- \cos{\left(4 x \right)}\right)\, dx = - \int \cos{\left(4 x \right)}\, dx$

      1. пусть $u = 4 x$.

         Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$:

         $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{16}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}$

            1. Интеграл от косинуса есть синус:

               $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$

   Результат есть: $x - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $x - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$x - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}+ \mathrm{constant}$