Господин Экзамен

Lang:

Другие калькуляторы

Как пользоваться?
Интеграл d{x}:
Интеграл (cos(x))^3
Интеграл e^(1/x)/x^2
Интеграл x^2+2
Интеграл (x+3)
Производная:
1/(1-x^4)
Идентичные выражения
один /(один -x^ четыре)
1 делить на (1 минус x в степени 4)
один делить на (один минус x в степени четыре)
1/(1-x4)
1/1-x4
1/(1-x⁴)
1/1-x^4
1 разделить на (1-x^4)
1/(1-x^4)dx
Похожие выражения
1/(1+x^4)

Интеграл 1/(1-x^4) d{x}

Решение

Вы ввели [src]

  1            
  /            
 |             
 |      1      
 |  1*------ dx
 |         4   
 |    1 - x    
 |             
/              
0

$$\int\limits_{0}^{1} 1 \cdot \frac{1}{- x^{4} + 1}\, dx$$

Упростить

Подробное решение

Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
Метод #1
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $1 \cdot \frac{1}{1 - x^{4}} = \frac{1}{2 \left(x^{2} + 1\right)} + \frac{1}{4 \left(x + 1\right)} - \frac{1}{4 \left(x - 1\right)}$
2. Интегрируем почленно:
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \frac{1}{2 \left(x^{2} + 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x^{2} + 1}\, dx}{2}$
    1. Интеграл $\frac{1}{x^{2} + 1}$ есть $\operatorname{atan}{\left(x \right)}$ .
    Таким образом, результат будет: $\frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{2}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \frac{1}{4 \left(x + 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x + 1}\, dx}{4}$
    1. пусть $u = x + 1$ .
      
      Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$ :
      
      $\int \frac{1}{u}\, du$
      
      Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\log{\left(x + 1 \right)}$
    Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{4}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- \frac{1}{4 \left(x - 1\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{x - 1}\, dx}{4}$
    1. пусть $u = x - 1$ .
      
      Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$ :
      
      $\int \frac{1}{u}\, du$
      
      Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\log{\left(x - 1 \right)}$
    Таким образом, результат будет: $- \frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{4}$
  Результат есть: $- \frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{4} + \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{4} + \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{2}$
Метод #2
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $1 \cdot \frac{1}{1 - x^{4}} = - \frac{1}{x^{4} - 1}$
2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
  
  $\int \left(- \frac{1}{x^{4} - 1}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x^{4} - 1}\, dx$
  1. Перепишите подынтегральное выражение:
    
    $\frac{1}{x^{4} - 1} = - \frac{1}{2 \left(x^{2} + 1\right)} - \frac{1}{4 \left(x + 1\right)} + \frac{1}{4 \left(x - 1\right)}$
  2. Интегрируем почленно:
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{1}{2 \left(x^{2} + 1\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{x^{2} + 1}\, dx}{2}$
      
      Интеграл $\frac{1}{x^{2} + 1}$ есть $\operatorname{atan}{\left(x \right)}$ .
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{2}$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{1}{4 \left(x + 1\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{x + 1}\, dx}{4}$
      
      пусть $u = x + 1$ .
      
      Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$ :
      
      $\int \frac{1}{u}\, du$
      
      Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\log{\left(x + 1 \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{4}$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{1}{4 \left(x - 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x - 1}\, dx}{4}$
      
      пусть $u = x - 1$ .
      
      Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$ :
      
      $\int \frac{1}{u}\, du$
      
      Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\log{\left(x - 1 \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{4}$
    Результат есть: $\frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{4} - \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{4} - \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{2}$
  Таким образом, результат будет: $- \frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{4} + \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{4} + \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{2}$
Добавляем постоянную интегрирования:

$- \frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{4} + \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{4} + \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$- \frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{4} + \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{4} + \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Ответ (Неопределённый) [src]

  /                                                    
 |                                                     
 |     1             atan(x)   log(-1 + x)   log(1 + x)
 | 1*------ dx = C + ------- - ----------- + ----------
 |        4             2           4            4     
 |   1 - x                                             
 |                                                     
/

$${{\log \left(x+1\right)}\over{4}}+{{\arctan x}\over{2}}-{{\log \left(x-1\right)}\over{4}}$$

Упростить

Ответ [src]

     pi*I
oo + ----
      4

$${\it \%a}$$

     pi*I
oo + ----
      4

$$\infty + \frac{i \pi}{4}$$

Упростить

Численный ответ [src]

11.5887250733929

11.5887250733929

Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Интеграл 1/(1-x^4) d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Метод #1

Метод #2