Интеграл (-x^3)*e^(x^2/2) d{x}

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left(x \right)} = - x^{3}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{\frac{x^{2}}{2}}$.

   Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - 3 x^{2}$.

   Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

   ErfRule(a=1/2, b=0, c=0, context=exp(x**2/2), symbol=x)

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int \left(- \frac{3 \sqrt{2} \sqrt{\pi} x^{2} \operatorname{erfi}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{2} \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{3 \sqrt{2} \sqrt{\pi} \int x^{2} \operatorname{erfi}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{2} \right)}\, dx}{2}$

   1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.

      Но интеграл

      $\frac{x^{3} \operatorname{erfi}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{2} \right)}}{3} - \frac{\sqrt{2} x^{2} e^{\frac{x^{2}}{2}}}{3 \sqrt{\pi}} + \frac{2 \sqrt{2} e^{\frac{x^{2}}{2}}}{3 \sqrt{\pi}}$

   Таким образом, результат будет: $- \frac{3 \sqrt{2} \sqrt{\pi} \left(\frac{x^{3} \operatorname{erfi}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{2} \right)}}{3} - \frac{\sqrt{2} x^{2} e^{\frac{x^{2}}{2}}}{3 \sqrt{\pi}} + \frac{2 \sqrt{2} e^{\frac{x^{2}}{2}}}{3 \sqrt{\pi}}\right)}{2}$

3. Теперь упростить:

   $\left(2 - x^{2}\right) e^{\frac{x^{2}}{2}}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\left(2 - x^{2}\right) e^{\frac{x^{2}}{2}}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\left(2 - x^{2}\right) e^{\frac{x^{2}}{2}}+ \mathrm{constant}$