Интеграл log(y)*dy d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = \log{\left(y \right)}$.

      Тогда пусть $du = \frac{dy}{y}$ и подставим $du$:

      $\int u e^{u}\, du$

      1. Используем интегрирование по частям:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         пусть $u{\left(u \right)} = u$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

         Затем $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

         Чтобы найти $v{\left(u \right)}$:

         1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Теперь решаем под-интеграл.

      2. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

         $\int e^{u}\, du = e^{u}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $y \log{\left(y \right)} - y$

   Метод #2

   1. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left(y \right)} = \log{\left(y \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(y \right)} = 1$.

      Затем $\operatorname{du}{\left(y \right)} = \frac{1}{y}$.

      Чтобы найти $v{\left(y \right)}$:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, dy = y$

      Теперь решаем под-интеграл.

   2. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int 1\, dy = y$

2. Теперь упростить:

   $y \left(\log{\left(y \right)} - 1\right)$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $y \left(\log{\left(y \right)} - 1\right)+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$y \left(\log{\left(y \right)} - 1\right)+ \mathrm{constant}$