Интеграл cos(x)^(5)*sin(x)*dx d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$.

      Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$:

      $\int u^{5}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- u^{5}\right)\, du = - \int u^{5}\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int u^{5}\, du = \frac{u^{6}}{6}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{6}}{6}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{\cos^{6}{\left(x \right)}}{6}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\cos^{5}{\left(x \right)} \sin{\left(x \right)} 1 = \left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$

   2. пусть $u = 1 - \sin^{2}{\left(x \right)}$.

      Тогда пусть $du = - 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $- \frac{du}{2}$:

      $\int \frac{u^{2}}{4}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \frac{u^{2}}{2}\right)\, du = - \frac{\int u^{2}\, du}{2}$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{6}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{3}}{6}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{\cos^{6}{\left(x \right)}}{6}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$- \frac{\cos^{6}{\left(x \right)}}{6}+ \mathrm{constant}$