Господин Экзамен

Lang:

Другие калькуляторы

Как пользоваться?
Интеграл d{x}:
Интеграл cos(x/2)^4
Интеграл dx/(5+2*sqrt(x))
Интеграл dx/(1-x)^2
Интеграл 4*dx/(12-6*x)^5
Идентичные выражения
cos(x/ два)^ четыре
косинус от (x делить на 2) в степени 4
косинус от (x делить на два) в степени четыре
cos(x/2)4
cosx/24
cos(x/2)⁴
cosx/2^4
cos(x разделить на 2)^4
cos(x/2)^4dx
Похожие выражения
cos(x/2)^(4)*sin(x/2)^(2)
(cos(x/2))^4

Решение интегралов/ cos(x/2)^4

Интеграл cos(x/2)^4 d{x}

Решение

Вы ввели [src]

  1           
  /           
 |            
 |     4/x\   
 |  cos |-| dx
 |      \2/   
 |            
/             
0

$$\int\limits_{0}^{1} \cos^{4}{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx$$

Упростить

Подробное решение

Перепишите подынтегральное выражение:

$\cos^{4}{\left(\frac{x}{2} \right)} = \left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2}$
Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
Метод #1
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{4} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{2} + \frac{1}{4}$
2. Интегрируем почленно:
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx}{4}$
    1. Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\cos^{2}{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
    2. Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}$
      
      пусть $u = 2 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$
      
      Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$
    Таким образом, результат будет: $\frac{x}{8} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{16}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \frac{\cos{\left(x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(x \right)}\, dx}{2}$
    1. Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$
    Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(x \right)}}{2}$
  1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
    
    $\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}$
  Результат есть: $\frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{16}$
Метод #2
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{4} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{2} + \frac{1}{4}$
2. Интегрируем почленно:
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx}{4}$
    1. Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\cos^{2}{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
    2. Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}$
      
      пусть $u = 2 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$
      
      Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$
    Таким образом, результат будет: $\frac{x}{8} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{16}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \frac{\cos{\left(x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(x \right)}\, dx}{2}$
    1. Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$
    Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(x \right)}}{2}$
  1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
    
    $\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}$
  Результат есть: $\frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{16}$
Добавляем постоянную интегрирования:

$\frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{16}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{16}+ \mathrm{constant}$

Ответ (Неопределённый) [src]

  /                                        
 |                                         
 |    4/x\          sin(x)   sin(2*x)   3*x
 | cos |-| dx = C + ------ + -------- + ---
 |     \2/            2         16       8 
 |                                         
/

$${{{{\sin \left(2\,x\right)}\over{2}}+x}\over{8}}+{{\sin x}\over{2}} +{{x}\over{4}}$$

Упростить

График

Построить график f(x)

Ответ [src]

       3                                    
3   cos (1/2)*sin(1/2)   3*cos(1/2)*sin(1/2)
- + ------------------ + -------------------
8           2                     4

$${{\sin 2+8\,\sin 1+6}\over{16}}$$

       3                                    
3   cos (1/2)*sin(1/2)   3*cos(1/2)*sin(1/2)
- + ------------------ + -------------------
8           2                     4

$$\frac{\sin{\left(\frac{1}{2} \right)} \cos^{3}{\left(\frac{1}{2} \right)}}{2} + \frac{3 \sin{\left(\frac{1}{2} \right)} \cos{\left(\frac{1}{2} \right)}}{4} + \frac{3}{8}$$

Упростить

Численный ответ [src]

0.852566581580553

0.852566581580553

График

$Интеграл cos(x/2)^4 d{x}$

Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Интеграл cos(x/2)^4 d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Метод #1

Метод #2