Интеграл cos(3*x)^(6) d{x}

Решение

Вы ввели [src]

  1             
  /             
 |              
 |     6        
 |  cos (3*x) dx
 |              
/               
0

$$\int\limits_{0}^{1} \cos^{6}{\left(3 x \right)}\, dx$$

Упростить

Подробное решение

Перепишите подынтегральное выражение:

$\cos^{6}{\left(3 x \right)} = \left(\frac{\cos{\left(6 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{3}$
Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
Метод #1
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\left(\frac{\cos{\left(6 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{3} = \frac{\cos^{3}{\left(6 x \right)}}{8} + \frac{3 \cos^{2}{\left(6 x \right)}}{8} + \frac{3 \cos{\left(6 x \right)}}{8} + \frac{1}{8}$
2. Интегрируем почленно:
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \frac{\cos^{3}{\left(6 x \right)}}{8}\, dx = \frac{\int \cos^{3}{\left(6 x \right)}\, dx}{8}$
    1. Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\cos^{3}{\left(6 x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(6 x \right)}\right) \cos{\left(6 x \right)}$
    2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
      
      Метод #1
      
      пусть $u = \sin{\left(6 x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = 6 \cos{\left(6 x \right)} dx$ и подставим $du$ :
      
      $\int \left(\frac{1}{6} - \frac{u^{2}}{6}\right)\, du$
      
      Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{6}\, du = \frac{u}{6}$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{u^{2}}{6}\right)\, du = - \frac{\int u^{2}\, du}{6}$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{18}$
      
      Результат есть: $- \frac{u^{3}}{18} + \frac{u}{6}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\sin^{3}{\left(6 x \right)}}{18} + \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{6}$
      
      Метод #2
      
      Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\left(1 - \sin^{2}{\left(6 x \right)}\right) \cos{\left(6 x \right)} = - \sin^{2}{\left(6 x \right)} \cos{\left(6 x \right)} + \cos{\left(6 x \right)}$
      
      Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \sin^{2}{\left(6 x \right)} \cos{\left(6 x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{2}{\left(6 x \right)} \cos{\left(6 x \right)}\, dx$
      
      пусть $u = \sin{\left(6 x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = 6 \cos{\left(6 x \right)} dx$ и подставим $\frac{du}{6}$ :
      
      $\int \frac{u^{2}}{36}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{u^{2}}{6}\, du = \frac{\int u^{2}\, du}{6}$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{u^{3}}{18}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin^{3}{\left(6 x \right)}}{18}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin^{3}{\left(6 x \right)}}{18}$
      
      пусть $u = 6 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 6 dx$ и подставим $\frac{du}{6}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{36}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{6}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{6}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{6}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(6 x \right)}}{6}$
      
      Результат есть: $- \frac{\sin^{3}{\left(6 x \right)}}{18} + \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{6}$
      
      Метод #3
      
      Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\left(1 - \sin^{2}{\left(6 x \right)}\right) \cos{\left(6 x \right)} = - \sin^{2}{\left(6 x \right)} \cos{\left(6 x \right)} + \cos{\left(6 x \right)}$
      
      Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \sin^{2}{\left(6 x \right)} \cos{\left(6 x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{2}{\left(6 x \right)} \cos{\left(6 x \right)}\, dx$
      
      пусть $u = \sin{\left(6 x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = 6 \cos{\left(6 x \right)} dx$ и подставим $\frac{du}{6}$ :
      
      $\int \frac{u^{2}}{36}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{u^{2}}{6}\, du = \frac{\int u^{2}\, du}{6}$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{u^{3}}{18}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin^{3}{\left(6 x \right)}}{18}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin^{3}{\left(6 x \right)}}{18}$
      
      пусть $u = 6 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 6 dx$ и подставим $\frac{du}{6}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{36}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{6}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{6}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{6}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(6 x \right)}}{6}$
      
      Результат есть: $- \frac{\sin^{3}{\left(6 x \right)}}{18} + \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{6}$
    Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin^{3}{\left(6 x \right)}}{144} + \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{48}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \frac{3 \cos^{2}{\left(6 x \right)}}{8}\, dx = \frac{3 \int \cos^{2}{\left(6 x \right)}\, dx}{8}$
    1. Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\cos^{2}{\left(6 x \right)} = \frac{\cos{\left(12 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
    2. Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(12 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(12 x \right)}\, dx}{2}$
      
      пусть $u = 12 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 12 dx$ и подставим $\frac{du}{12}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{144}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{12}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{12}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{12}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(12 x \right)}}{12}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(12 x \right)}}{24}$
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$
      
      Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{24}$
    Таким образом, результат будет: $\frac{3 x}{16} + \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{64}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \frac{3 \cos{\left(6 x \right)}}{8}\, dx = \frac{3 \int \cos{\left(6 x \right)}\, dx}{8}$
    1. пусть $u = 6 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 6 dx$ и подставим $\frac{du}{6}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{36}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{6}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{6}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{6}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(6 x \right)}}{6}$
    Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(6 x \right)}}{16}$
  1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
    
    $\int \frac{1}{8}\, dx = \frac{x}{8}$
  Результат есть: $\frac{5 x}{16} - \frac{\sin^{3}{\left(6 x \right)}}{144} + \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{12} + \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{64}$
Метод #2
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\left(\frac{\cos{\left(6 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{3} = \frac{\cos^{3}{\left(6 x \right)}}{8} + \frac{3 \cos^{2}{\left(6 x \right)}}{8} + \frac{3 \cos{\left(6 x \right)}}{8} + \frac{1}{8}$
2. Интегрируем почленно:
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \frac{\cos^{3}{\left(6 x \right)}}{8}\, dx = \frac{\int \cos^{3}{\left(6 x \right)}\, dx}{8}$
    1. Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\cos^{3}{\left(6 x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(6 x \right)}\right) \cos{\left(6 x \right)}$
    2. пусть $u = \sin{\left(6 x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = 6 \cos{\left(6 x \right)} dx$ и подставим $du$ :
      
      $\int \left(\frac{1}{6} - \frac{u^{2}}{6}\right)\, du$
      
      Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{6}\, du = \frac{u}{6}$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{u^{2}}{6}\right)\, du = - \frac{\int u^{2}\, du}{6}$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{18}$
      
      Результат есть: $- \frac{u^{3}}{18} + \frac{u}{6}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\sin^{3}{\left(6 x \right)}}{18} + \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{6}$
    Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin^{3}{\left(6 x \right)}}{144} + \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{48}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \frac{3 \cos^{2}{\left(6 x \right)}}{8}\, dx = \frac{3 \int \cos^{2}{\left(6 x \right)}\, dx}{8}$
    1. Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\cos^{2}{\left(6 x \right)} = \frac{\cos{\left(12 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
    2. Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(12 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(12 x \right)}\, dx}{2}$
      
      пусть $u = 12 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 12 dx$ и подставим $\frac{du}{12}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{144}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{12}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{12}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{12}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(12 x \right)}}{12}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(12 x \right)}}{24}$
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$
      
      Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{24}$
    Таким образом, результат будет: $\frac{3 x}{16} + \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{64}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \frac{3 \cos{\left(6 x \right)}}{8}\, dx = \frac{3 \int \cos{\left(6 x \right)}\, dx}{8}$
    1. пусть $u = 6 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 6 dx$ и подставим $\frac{du}{6}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{36}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{6}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{6}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{6}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(6 x \right)}}{6}$
    Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(6 x \right)}}{16}$
  1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
    
    $\int \frac{1}{8}\, dx = \frac{x}{8}$
  Результат есть: $\frac{5 x}{16} - \frac{\sin^{3}{\left(6 x \right)}}{144} + \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{12} + \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{64}$
Добавляем постоянную интегрирования:

$\frac{5 x}{16} - \frac{\sin^{3}{\left(6 x \right)}}{144} + \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{12} + \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{64}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{5 x}{16} - \frac{\sin^{3}{\left(6 x \right)}}{144} + \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{12} + \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{64}+ \mathrm{constant}$

Ответ (Неопределённый) [src]

  /                                                         
 |                       3                                  
 |    6               sin (6*x)   sin(6*x)   sin(12*x)   5*x
 | cos (3*x) dx = C - --------- + -------- + --------- + ---
 |                       144         12          64       16
/

$${{{{3\,\left({{\sin \left(12\,x\right)}\over{2}}+6\,x\right)}\over{ 16}}+{{\sin \left(6\,x\right)-{{\sin ^3\left(6\,x\right)}\over{3}} }\over{8}}+{{3\,\sin \left(6\,x\right)}\over{8}}+{{3\,x}\over{4}} }\over{6}}$$

Упростить

График

Построить график f(x)

Ответ [src]

        5                                    3          
5    cos (3)*sin(3)   5*cos(3)*sin(3)   5*cos (3)*sin(3)
-- + -------------- + --------------- + ----------------
16         18                48                72

$${{9\,\sin 12-4\,\sin ^36+48\,\sin 6+180}\over{576}}$$

        5                                    3          
5    cos (3)*sin(3)   5*cos(3)*sin(3)   5*cos (3)*sin(3)
-- + -------------- + --------------- + ----------------
16         18                48                72

$$\frac{5 \sin{\left(3 \right)} \cos{\left(3 \right)}}{48} + \frac{5 \sin{\left(3 \right)} \cos^{3}{\left(3 \right)}}{72} + \frac{\sin{\left(3 \right)} \cos^{5}{\left(3 \right)}}{18} + \frac{5}{16}$$

Упростить

Численный ответ [src]

0.280982915056029

0.280982915056029

График

$Интеграл cos(3*x)^(6) d{x}$

Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Интеграл cos(3*x)^(6) d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Метод #1

Метод #1

Метод #2

Метод #3

Метод #2