Господин Экзамен

Lang:

Другие калькуляторы

Как пользоваться?
Интеграл d{x}:
Интеграл dx/sqrt(1)-x^2
Интеграл cos(7*x)*cos(5*x)
Интеграл (1/8)*x
Интеграл sqrt(1+3*x)
Идентичные выражения
cos(семь *x)*cos(пять *x)
косинус от (7 умножить на x) умножить на косинус от (5 умножить на x)
косинус от (семь умножить на x) умножить на косинус от (пять умножить на x)
cos(7x)cos(5x)
cos7xcos5x
cos(7*x)*cos(5*x)dx

Решение интегралов/ cos(7*x)*cos(5*x)

Интеграл cos(7x)cos(5*x) d{x}

Решение

Вы ввели [src]

  1                     
  /                     
 |                      
 |  cos(7*x)*cos(5*x) dx
 |                      
/                       
0

$$\int\limits_{0}^{1} \cos{\left(5 x \right)} \cos{\left(7 x \right)}\, dx$$

Упростить

Подробное решение

Перепишите подынтегральное выражение:

$\cos{\left(5 x \right)} \cos{\left(7 x \right)} = 1024 \cos^{12}{\left(x \right)} - 3072 \cos^{10}{\left(x \right)} + 3456 \cos^{8}{\left(x \right)} - 1792 \cos^{6}{\left(x \right)} + 420 \cos^{4}{\left(x \right)} - 35 \cos^{2}{\left(x \right)}$
Интегрируем почленно:
1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
  
  $\int 1024 \cos^{12}{\left(x \right)}\, dx = 1024 \int \cos^{12}{\left(x \right)}\, dx$
  1. Перепишите подынтегральное выражение:
    
    $\cos^{12}{\left(x \right)} = \left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{6}$
  2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
    Метод #1
    1. Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{6} = \frac{\cos^{6}{\left(2 x \right)}}{64} + \frac{3 \cos^{5}{\left(2 x \right)}}{32} + \frac{15 \cos^{4}{\left(2 x \right)}}{64} + \frac{5 \cos^{3}{\left(2 x \right)}}{16} + \frac{15 \cos^{2}{\left(2 x \right)}}{64} + \frac{3 \cos{\left(2 x \right)}}{32} + \frac{1}{64}$
    2. Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos^{6}{\left(2 x \right)}}{64}\, dx = \frac{\int \cos^{6}{\left(2 x \right)}\, dx}{64}$
      
      Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\cos^{6}{\left(2 x \right)} = \left(\frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{3}$
      
      Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\left(\frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{3} = \frac{\cos^{3}{\left(4 x \right)}}{8} + \frac{3 \cos^{2}{\left(4 x \right)}}{8} + \frac{3 \cos{\left(4 x \right)}}{8} + \frac{1}{8}$
      
      Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos^{3}{\left(4 x \right)}}{8}\, dx = \frac{\int \cos^{3}{\left(4 x \right)}\, dx}{8}$
      
      Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\cos^{3}{\left(4 x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(4 x \right)}\right) \cos{\left(4 x \right)}$
      
      Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
      
      Метод #1
      
      пусть $u = \sin{\left(4 x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = 4 \cos{\left(4 x \right)} dx$ и подставим $du$ :
      
      $\int \left(\frac{1}{4} - \frac{u^{2}}{4}\right)\, du$
      
      Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{4}\, du = \frac{u}{4}$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{u^{2}}{4}\right)\, du = - \frac{\int u^{2}\, du}{4}$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{12}$
      
      Результат есть: $- \frac{u^{3}}{12} + \frac{u}{4}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\sin^{3}{\left(4 x \right)}}{12} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$
      
      Метод #2
      
      Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\left(1 - \sin^{2}{\left(4 x \right)}\right) \cos{\left(4 x \right)} = - \sin^{2}{\left(4 x \right)} \cos{\left(4 x \right)} + \cos{\left(4 x \right)}$
      
      Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \sin^{2}{\left(4 x \right)} \cos{\left(4 x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{2}{\left(4 x \right)} \cos{\left(4 x \right)}\, dx$
      
      пусть $u = \sin{\left(4 x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = 4 \cos{\left(4 x \right)} dx$ и подставим $\frac{du}{4}$ :
      
      $\int \frac{u^{2}}{16}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{u^{2}}{4}\, du = \frac{\int u^{2}\, du}{4}$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{u^{3}}{12}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin^{3}{\left(4 x \right)}}{12}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin^{3}{\left(4 x \right)}}{12}$
      
      пусть $u = 4 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{16}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$
      
      Результат есть: $- \frac{\sin^{3}{\left(4 x \right)}}{12} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$
      
      Метод #3
      
      Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\left(1 - \sin^{2}{\left(4 x \right)}\right) \cos{\left(4 x \right)} = - \sin^{2}{\left(4 x \right)} \cos{\left(4 x \right)} + \cos{\left(4 x \right)}$
      
      Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \sin^{2}{\left(4 x \right)} \cos{\left(4 x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{2}{\left(4 x \right)} \cos{\left(4 x \right)}\, dx$
      
      пусть $u = \sin{\left(4 x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = 4 \cos{\left(4 x \right)} dx$ и подставим $\frac{du}{4}$ :
      
      $\int \frac{u^{2}}{16}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{u^{2}}{4}\, du = \frac{\int u^{2}\, du}{4}$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{u^{3}}{12}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin^{3}{\left(4 x \right)}}{12}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin^{3}{\left(4 x \right)}}{12}$
      
      пусть $u = 4 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{16}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$
      
      Результат есть: $- \frac{\sin^{3}{\left(4 x \right)}}{12} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin^{3}{\left(4 x \right)}}{96} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{3 \cos^{2}{\left(4 x \right)}}{8}\, dx = \frac{3 \int \cos^{2}{\left(4 x \right)}\, dx}{8}$
      
      Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\cos^{2}{\left(4 x \right)} = \frac{\cos{\left(8 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
      
      Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(8 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(8 x \right)}\, dx}{2}$
      
      пусть $u = 8 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 8 dx$ и подставим $\frac{du}{8}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{64}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{8}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{8}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{8}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(8 x \right)}}{8}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16}$
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$
      
      Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{3 x}{16} + \frac{3 \sin{\left(8 x \right)}}{128}$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{3 \cos{\left(4 x \right)}}{8}\, dx = \frac{3 \int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{8}$
      
      пусть $u = 4 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{16}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{3 \sin{\left(4 x \right)}}{32}$
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{8}\, dx = \frac{x}{8}$
      
      Результат есть: $\frac{5 x}{16} - \frac{\sin^{3}{\left(4 x \right)}}{96} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8} + \frac{3 \sin{\left(8 x \right)}}{128}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{5 x}{1024} - \frac{\sin^{3}{\left(4 x \right)}}{6144} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{512} + \frac{3 \sin{\left(8 x \right)}}{8192}$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{3 \cos^{5}{\left(2 x \right)}}{32}\, dx = \frac{3 \int \cos^{5}{\left(2 x \right)}\, dx}{32}$
      
      Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\cos^{5}{\left(2 x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(2 x \right)}\right)^{2} \cos{\left(2 x \right)}$
      
      пусть $u = 2 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $du$ :
      
      $\int \left(\frac{\sin^{4}{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}}{2} - \sin^{2}{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)} + \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\right)\, du$
      
      Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\sin^{4}{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \sin^{4}{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      пусть $u = \sin{\left(u \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = \cos{\left(u \right)} du$ и подставим $du$ :
      
      $\int u^{4}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin^{5}{\left(u \right)}}{5}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin^{5}{\left(u \right)}}{10}$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \sin^{2}{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}\right)\, du = - \int \sin^{2}{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}\, du$
      
      пусть $u = \sin{\left(u \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = \cos{\left(u \right)} du$ и подставим $du$ :
      
      $\int u^{2}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{3}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{3}$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$
      
      Результат есть: $\frac{\sin^{5}{\left(u \right)}}{10} - \frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{3} + \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin^{5}{\left(2 x \right)}}{10} - \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{3} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{3 \sin^{5}{\left(2 x \right)}}{320} - \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{32} + \frac{3 \sin{\left(2 x \right)}}{64}$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{15 \cos^{4}{\left(2 x \right)}}{64}\, dx = \frac{15 \int \cos^{4}{\left(2 x \right)}\, dx}{64}$
      
      Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\cos^{4}{\left(2 x \right)} = \left(\frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2}$
      
      Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\left(\frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(4 x \right)}}{4} + \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{4}$
      
      Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos^{2}{\left(4 x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{2}{\left(4 x \right)}\, dx}{4}$
      
      Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\cos^{2}{\left(4 x \right)} = \frac{\cos{\left(8 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
      
      Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(8 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(8 x \right)}\, dx}{2}$
      
      пусть $u = 8 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 8 dx$ и подставим $\frac{du}{8}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{64}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{8}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{8}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{8}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(8 x \right)}}{8}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16}$
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$
      
      Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{x}{8} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{64}$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}$
      
      пусть $u = 4 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{16}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}$
      
      Результат есть: $\frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{64}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{45 x}{512} + \frac{15 \sin{\left(4 x \right)}}{512} + \frac{15 \sin{\left(8 x \right)}}{4096}$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{5 \cos^{3}{\left(2 x \right)}}{16}\, dx = \frac{5 \int \cos^{3}{\left(2 x \right)}\, dx}{16}$
      
      Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\cos^{3}{\left(2 x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(2 x \right)}\right) \cos{\left(2 x \right)}$
      
      пусть $u = \sin{\left(2 x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 \cos{\left(2 x \right)} dx$ и подставим $du$ :
      
      $\int \left(\frac{1}{2} - \frac{u^{2}}{2}\right)\, du$
      
      Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{u^{2}}{2}\right)\, du = - \frac{\int u^{2}\, du}{2}$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{6}$
      
      Результат есть: $- \frac{u^{3}}{6} + \frac{u}{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{6} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{5 \sin^{3}{\left(2 x \right)}}{96} + \frac{5 \sin{\left(2 x \right)}}{32}$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{15 \cos^{2}{\left(2 x \right)}}{64}\, dx = \frac{15 \int \cos^{2}{\left(2 x \right)}\, dx}{64}$
      
      Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\cos^{2}{\left(2 x \right)} = \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
      
      Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}$
      
      пусть $u = 4 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{16}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$
      
      Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{15 x}{128} + \frac{15 \sin{\left(4 x \right)}}{512}$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{3 \cos{\left(2 x \right)}}{32}\, dx = \frac{3 \int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{32}$
      
      пусть $u = 2 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{3 \sin{\left(2 x \right)}}{64}$
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{64}\, dx = \frac{x}{64}$
      
      Результат есть: $\frac{231 x}{1024} + \frac{3 \sin^{5}{\left(2 x \right)}}{320} - \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{12} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} - \frac{\sin^{3}{\left(4 x \right)}}{6144} + \frac{31 \sin{\left(4 x \right)}}{512} + \frac{33 \sin{\left(8 x \right)}}{8192}$
    Метод #2
    1. Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{6} = \frac{\cos^{6}{\left(2 x \right)}}{64} + \frac{3 \cos^{5}{\left(2 x \right)}}{32} + \frac{15 \cos^{4}{\left(2 x \right)}}{64} + \frac{5 \cos^{3}{\left(2 x \right)}}{16} + \frac{15 \cos^{2}{\left(2 x \right)}}{64} + \frac{3 \cos{\left(2 x \right)}}{32} + \frac{1}{64}$
    2. Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos^{6}{\left(2 x \right)}}{64}\, dx = \frac{\int \cos^{6}{\left(2 x \right)}\, dx}{64}$
      
      Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\cos^{6}{\left(2 x \right)} = \left(\frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{3}$
      
      Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\left(\frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{3} = \frac{\cos^{3}{\left(4 x \right)}}{8} + \frac{3 \cos^{2}{\left(4 x \right)}}{8} + \frac{3 \cos{\left(4 x \right)}}{8} + \frac{1}{8}$
      
      Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos^{3}{\left(4 x \right)}}{8}\, dx = \frac{\int \cos^{3}{\left(4 x \right)}\, dx}{8}$
      
      Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\cos^{3}{\left(4 x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(4 x \right)}\right) \cos{\left(4 x \right)}$
      
      пусть $u = \sin{\left(4 x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = 4 \cos{\left(4 x \right)} dx$ и подставим $du$ :
      
      $\int \left(\frac{1}{4} - \frac{u^{2}}{4}\right)\, du$
      
      Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{4}\, du = \frac{u}{4}$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{u^{2}}{4}\right)\, du = - \frac{\int u^{2}\, du}{4}$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{12}$
      
      Результат есть: $- \frac{u^{3}}{12} + \frac{u}{4}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\sin^{3}{\left(4 x \right)}}{12} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin^{3}{\left(4 x \right)}}{96} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{3 \cos^{2}{\left(4 x \right)}}{8}\, dx = \frac{3 \int \cos^{2}{\left(4 x \right)}\, dx}{8}$
      
      Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\cos^{2}{\left(4 x \right)} = \frac{\cos{\left(8 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
      
      Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(8 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(8 x \right)}\, dx}{2}$
      
      пусть $u = 8 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 8 dx$ и подставим $\frac{du}{8}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{64}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{8}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{8}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{8}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(8 x \right)}}{8}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16}$
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$
      
      Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{3 x}{16} + \frac{3 \sin{\left(8 x \right)}}{128}$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{3 \cos{\left(4 x \right)}}{8}\, dx = \frac{3 \int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{8}$
      
      пусть $u = 4 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{16}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{3 \sin{\left(4 x \right)}}{32}$
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{8}\, dx = \frac{x}{8}$
      
      Результат есть: $\frac{5 x}{16} - \frac{\sin^{3}{\left(4 x \right)}}{96} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8} + \frac{3 \sin{\left(8 x \right)}}{128}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{5 x}{1024} - \frac{\sin^{3}{\left(4 x \right)}}{6144} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{512} + \frac{3 \sin{\left(8 x \right)}}{8192}$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{3 \cos^{5}{\left(2 x \right)}}{32}\, dx = \frac{3 \int \cos^{5}{\left(2 x \right)}\, dx}{32}$
      
      Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\cos^{5}{\left(2 x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(2 x \right)}\right)^{2} \cos{\left(2 x \right)}$
      
      пусть $u = 2 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $du$ :
      
      $\int \left(\frac{\sin^{4}{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}}{2} - \sin^{2}{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)} + \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\right)\, du$
      
      Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\sin^{4}{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \sin^{4}{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      пусть $u = \sin{\left(u \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = \cos{\left(u \right)} du$ и подставим $du$ :
      
      $\int u^{4}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin^{5}{\left(u \right)}}{5}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin^{5}{\left(u \right)}}{10}$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \sin^{2}{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}\right)\, du = - \int \sin^{2}{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}\, du$
      
      пусть $u = \sin{\left(u \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = \cos{\left(u \right)} du$ и подставим $du$ :
      
      $\int u^{2}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{3}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{3}$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$
      
      Результат есть: $\frac{\sin^{5}{\left(u \right)}}{10} - \frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{3} + \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin^{5}{\left(2 x \right)}}{10} - \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{3} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{3 \sin^{5}{\left(2 x \right)}}{320} - \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{32} + \frac{3 \sin{\left(2 x \right)}}{64}$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{15 \cos^{4}{\left(2 x \right)}}{64}\, dx = \frac{15 \int \cos^{4}{\left(2 x \right)}\, dx}{64}$
      
      Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\cos^{4}{\left(2 x \right)} = \left(\frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2}$
      
      Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\left(\frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(4 x \right)}}{4} + \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{4}$
      
      Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos^{2}{\left(4 x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{2}{\left(4 x \right)}\, dx}{4}$
      
      Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\cos^{2}{\left(4 x \right)} = \frac{\cos{\left(8 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
      
      Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(8 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(8 x \right)}\, dx}{2}$
      
      пусть $u = 8 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 8 dx$ и подставим $\frac{du}{8}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{64}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{8}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{8}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{8}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(8 x \right)}}{8}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16}$
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$
      
      Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{x}{8} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{64}$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}$
      
      пусть $u = 4 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{16}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}$
      
      Результат есть: $\frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{64}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{45 x}{512} + \frac{15 \sin{\left(4 x \right)}}{512} + \frac{15 \sin{\left(8 x \right)}}{4096}$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{5 \cos^{3}{\left(2 x \right)}}{16}\, dx = \frac{5 \int \cos^{3}{\left(2 x \right)}\, dx}{16}$
      
      Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\cos^{3}{\left(2 x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(2 x \right)}\right) \cos{\left(2 x \right)}$
      
      пусть $u = \sin{\left(2 x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 \cos{\left(2 x \right)} dx$ и подставим $du$ :
      
      $\int \left(\frac{1}{2} - \frac{u^{2}}{2}\right)\, du$
      
      Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{u^{2}}{2}\right)\, du = - \frac{\int u^{2}\, du}{2}$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{6}$
      
      Результат есть: $- \frac{u^{3}}{6} + \frac{u}{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{6} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{5 \sin^{3}{\left(2 x \right)}}{96} + \frac{5 \sin{\left(2 x \right)}}{32}$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{15 \cos^{2}{\left(2 x \right)}}{64}\, dx = \frac{15 \int \cos^{2}{\left(2 x \right)}\, dx}{64}$
      
      Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\cos^{2}{\left(2 x \right)} = \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
      
      Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}$
      
      пусть $u = 4 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{16}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$
      
      Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{15 x}{128} + \frac{15 \sin{\left(4 x \right)}}{512}$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{3 \cos{\left(2 x \right)}}{32}\, dx = \frac{3 \int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{32}$
      
      пусть $u = 2 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{3 \sin{\left(2 x \right)}}{64}$
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{64}\, dx = \frac{x}{64}$
      
      Результат есть: $\frac{231 x}{1024} + \frac{3 \sin^{5}{\left(2 x \right)}}{320} - \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{12} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} - \frac{\sin^{3}{\left(4 x \right)}}{6144} + \frac{31 \sin{\left(4 x \right)}}{512} + \frac{33 \sin{\left(8 x \right)}}{8192}$
  Таким образом, результат будет: $231 x + \frac{48 \sin^{5}{\left(2 x \right)}}{5} - \frac{256 \sin^{3}{\left(2 x \right)}}{3} + 256 \sin{\left(2 x \right)} - \frac{\sin^{3}{\left(4 x \right)}}{6} + 62 \sin{\left(4 x \right)} + \frac{33 \sin{\left(8 x \right)}}{8}$
1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
  
  $\int \left(- 3072 \cos^{10}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 3072 \int \cos^{10}{\left(x \right)}\, dx$
  1. Перепишите подынтегральное выражение:
    
    $\cos^{10}{\left(x \right)} = \left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{5}$
  2. Перепишите подынтегральное выражение:
    
    $\left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{5} = \frac{\cos^{5}{\left(2 x \right)}}{32} + \frac{5 \cos^{4}{\left(2 x \right)}}{32} + \frac{5 \cos^{3}{\left(2 x \right)}}{16} + \frac{5 \cos^{2}{\left(2 x \right)}}{16} + \frac{5 \cos{\left(2 x \right)}}{32} + \frac{1}{32}$
  3. Интегрируем почленно:
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos^{5}{\left(2 x \right)}}{32}\, dx = \frac{\int \cos^{5}{\left(2 x \right)}\, dx}{32}$
      1. Перепишите подынтегральное выражение:
        
        $\cos^{5}{\left(2 x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(2 x \right)}\right)^{2} \cos{\left(2 x \right)}$
      2. пусть $u = 2 x$ .
        
        Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $du$ :
        
        $\int \left(\frac{\sin^{4}{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}}{2} - \sin^{2}{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)} + \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\right)\, du$
        
        Интегрируем почленно:
        
        Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
        
        $\int \frac{\sin^{4}{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \sin^{4}{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$
        
        пусть $u = \sin{\left(u \right)}$ .
        
        Тогда пусть $du = \cos{\left(u \right)} du$ и подставим $du$ :
        
        $\int u^{4}\, du$
        
        Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
        
        $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$
        
        Если сейчас заменить $u$ ещё в:
        
        $\frac{\sin^{5}{\left(u \right)}}{5}$
        
        Таким образом, результат будет: $\frac{\sin^{5}{\left(u \right)}}{10}$
        
        Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
        
        $\int \left(- \sin^{2}{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}\right)\, du = - \int \sin^{2}{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}\, du$
        
        пусть $u = \sin{\left(u \right)}$ .
        
        Тогда пусть $du = \cos{\left(u \right)} du$ и подставим $du$ :
        
        $\int u^{2}\, du$
        
        Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
        
        $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
        
        Если сейчас заменить $u$ ещё в:
        
        $\frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{3}$
        
        Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{3}$
        
        Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
        
        $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$
        
        Интеграл от косинуса есть синус:
        
        $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
        
        Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$
        
        Результат есть: $\frac{\sin^{5}{\left(u \right)}}{10} - \frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{3} + \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$
        
        Если сейчас заменить $u$ ещё в:
        
        $\frac{\sin^{5}{\left(2 x \right)}}{10} - \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{3} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin^{5}{\left(2 x \right)}}{320} - \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{96} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{64}$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{5 \cos^{4}{\left(2 x \right)}}{32}\, dx = \frac{5 \int \cos^{4}{\left(2 x \right)}\, dx}{32}$
      1. Перепишите подынтегральное выражение:
        
        $\cos^{4}{\left(2 x \right)} = \left(\frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2}$
      2. Перепишите подынтегральное выражение:
        
        $\left(\frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(4 x \right)}}{4} + \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{4}$
      3. Интегрируем почленно:
        
        Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
        
        $\int \frac{\cos^{2}{\left(4 x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{2}{\left(4 x \right)}\, dx}{4}$
        
        Перепишите подынтегральное выражение:
        
        $\cos^{2}{\left(4 x \right)} = \frac{\cos{\left(8 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
        
        Интегрируем почленно:
        
        Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
        
        $\int \frac{\cos{\left(8 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(8 x \right)}\, dx}{2}$
        
        пусть $u = 8 x$ .
        
        Тогда пусть $du = 8 dx$ и подставим $\frac{du}{8}$ :
        
        $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{64}\, du$
        
        Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
        
        $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{8}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{8}$
        
        Интеграл от косинуса есть синус:
        
        $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
        
        Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{8}$
        
        Если сейчас заменить $u$ ещё в:
        
        $\frac{\sin{\left(8 x \right)}}{8}$
        
        Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16}$
        
        Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
        
        $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$
        
        Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16}$
        
        Таким образом, результат будет: $\frac{x}{8} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{64}$
        
        Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
        
        $\int \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}$
        
        пусть $u = 4 x$ .
        
        Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$ :
        
        $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{16}\, du$
        
        Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
        
        $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}$
        
        Интеграл от косинуса есть синус:
        
        $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
        
        Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}$
        
        Если сейчас заменить $u$ ещё в:
        
        $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$
        
        Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$
        
        Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
        
        $\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}$
        
        Результат есть: $\frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{64}$
      Таким образом, результат будет: $\frac{15 x}{256} + \frac{5 \sin{\left(4 x \right)}}{256} + \frac{5 \sin{\left(8 x \right)}}{2048}$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{5 \cos^{3}{\left(2 x \right)}}{16}\, dx = \frac{5 \int \cos^{3}{\left(2 x \right)}\, dx}{16}$
      1. Перепишите подынтегральное выражение:
        
        $\cos^{3}{\left(2 x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(2 x \right)}\right) \cos{\left(2 x \right)}$
      2. пусть $u = \sin{\left(2 x \right)}$ .
        
        Тогда пусть $du = 2 \cos{\left(2 x \right)} dx$ и подставим $du$ :
        
        $\int \left(\frac{1}{2} - \frac{u^{2}}{2}\right)\, du$
        
        Интегрируем почленно:
        
        Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
        
        $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}$
        
        Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
        
        $\int \left(- \frac{u^{2}}{2}\right)\, du = - \frac{\int u^{2}\, du}{2}$
        
        Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
        
        $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
        
        Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{6}$
        
        Результат есть: $- \frac{u^{3}}{6} + \frac{u}{2}$
        
        Если сейчас заменить $u$ ещё в:
        
        $- \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{6} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$
      Таким образом, результат будет: $- \frac{5 \sin^{3}{\left(2 x \right)}}{96} + \frac{5 \sin{\left(2 x \right)}}{32}$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{5 \cos^{2}{\left(2 x \right)}}{16}\, dx = \frac{5 \int \cos^{2}{\left(2 x \right)}\, dx}{16}$
      1. Перепишите подынтегральное выражение:
        
        $\cos^{2}{\left(2 x \right)} = \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
      2. Интегрируем почленно:
        
        Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
        
        $\int \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}$
        
        пусть $u = 4 x$ .
        
        Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$ :
        
        $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{16}\, du$
        
        Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
        
        $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}$
        
        Интеграл от косинуса есть синус:
        
        $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
        
        Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}$
        
        Если сейчас заменить $u$ ещё в:
        
        $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$
        
        Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$
        
        Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
        
        $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$
        
        Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$
      Таким образом, результат будет: $\frac{5 x}{32} + \frac{5 \sin{\left(4 x \right)}}{128}$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{5 \cos{\left(2 x \right)}}{32}\, dx = \frac{5 \int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{32}$
      1. пусть $u = 2 x$ .
        
        Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
        
        $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$
        
        Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
        
        $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$
        
        Интеграл от косинуса есть синус:
        
        $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
        
        Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$
        
        Если сейчас заменить $u$ ещё в:
        
        $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$
      Таким образом, результат будет: $\frac{5 \sin{\left(2 x \right)}}{64}$
    1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{32}\, dx = \frac{x}{32}$
    Результат есть: $\frac{63 x}{256} + \frac{\sin^{5}{\left(2 x \right)}}{320} - \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{16} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{15 \sin{\left(4 x \right)}}{256} + \frac{5 \sin{\left(8 x \right)}}{2048}$
  Таким образом, результат будет: $- 756 x - \frac{48 \sin^{5}{\left(2 x \right)}}{5} + 192 \sin^{3}{\left(2 x \right)} - 768 \sin{\left(2 x \right)} - 180 \sin{\left(4 x \right)} - \frac{15 \sin{\left(8 x \right)}}{2}$
1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
  
  $\int 3456 \cos^{8}{\left(x \right)}\, dx = 3456 \int \cos^{8}{\left(x \right)}\, dx$
  1. Перепишите подынтегральное выражение:
    
    $\cos^{8}{\left(x \right)} = \left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{4}$
  2. Перепишите подынтегральное выражение:
    
    $\left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{4} = \frac{\cos^{4}{\left(2 x \right)}}{16} + \frac{\cos^{3}{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{3 \cos^{2}{\left(2 x \right)}}{8} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{1}{16}$
  3. Интегрируем почленно:
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos^{4}{\left(2 x \right)}}{16}\, dx = \frac{\int \cos^{4}{\left(2 x \right)}\, dx}{16}$
      1. Перепишите подынтегральное выражение:
        
        $\cos^{4}{\left(2 x \right)} = \left(\frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2}$
      2. Перепишите подынтегральное выражение:
        
        $\left(\frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(4 x \right)}}{4} + \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{4}$
      3. Интегрируем почленно:
        
        Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
        
        $\int \frac{\cos^{2}{\left(4 x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{2}{\left(4 x \right)}\, dx}{4}$
        
        Перепишите подынтегральное выражение:
        
        $\cos^{2}{\left(4 x \right)} = \frac{\cos{\left(8 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
        
        Интегрируем почленно:
        
        Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
        
        $\int \frac{\cos{\left(8 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(8 x \right)}\, dx}{2}$
        
        пусть $u = 8 x$ .
        
        Тогда пусть $du = 8 dx$ и подставим $\frac{du}{8}$ :
        
        $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{64}\, du$
        
        Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
        
        $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{8}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{8}$
        
        Интеграл от косинуса есть синус:
        
        $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
        
        Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{8}$
        
        Если сейчас заменить $u$ ещё в:
        
        $\frac{\sin{\left(8 x \right)}}{8}$
        
        Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16}$
        
        Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
        
        $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$
        
        Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16}$
        
        Таким образом, результат будет: $\frac{x}{8} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{64}$
        
        Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
        
        $\int \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}$
        
        пусть $u = 4 x$ .
        
        Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$ :
        
        $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{16}\, du$
        
        Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
        
        $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}$
        
        Интеграл от косинуса есть синус:
        
        $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
        
        Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}$
        
        Если сейчас заменить $u$ ещё в:
        
        $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$
        
        Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$
        
        Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
        
        $\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}$
        
        Результат есть: $\frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{64}$
      Таким образом, результат будет: $\frac{3 x}{128} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{128} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{1024}$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos^{3}{\left(2 x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{3}{\left(2 x \right)}\, dx}{4}$
      1. Перепишите подынтегральное выражение:
        
        $\cos^{3}{\left(2 x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(2 x \right)}\right) \cos{\left(2 x \right)}$
      2. пусть $u = \sin{\left(2 x \right)}$ .
        
        Тогда пусть $du = 2 \cos{\left(2 x \right)} dx$ и подставим $du$ :
        
        $\int \left(\frac{1}{2} - \frac{u^{2}}{2}\right)\, du$
        
        Интегрируем почленно:
        
        Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
        
        $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}$
        
        Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
        
        $\int \left(- \frac{u^{2}}{2}\right)\, du = - \frac{\int u^{2}\, du}{2}$
        
        Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
        
        $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
        
        Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{6}$
        
        Результат есть: $- \frac{u^{3}}{6} + \frac{u}{2}$
        
        Если сейчас заменить $u$ ещё в:
        
        $- \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{6} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$
      Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{24} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{8}$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{3 \cos^{2}{\left(2 x \right)}}{8}\, dx = \frac{3 \int \cos^{2}{\left(2 x \right)}\, dx}{8}$
      1. Перепишите подынтегральное выражение:
        
        $\cos^{2}{\left(2 x \right)} = \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
      2. Интегрируем почленно:
        
        Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
        
        $\int \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}$
        
        пусть $u = 4 x$ .
        
        Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$ :
        
        $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{16}\, du$
        
        Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
        
        $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}$
        
        Интеграл от косинуса есть синус:
        
        $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
        
        Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}$
        
        Если сейчас заменить $u$ ещё в:
        
        $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$
        
        Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$
        
        Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
        
        $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$
        
        Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$
      Таким образом, результат будет: $\frac{3 x}{16} + \frac{3 \sin{\left(4 x \right)}}{64}$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{4}$
      1. пусть $u = 2 x$ .
        
        Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
        
        $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$
        
        Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
        
        $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$
        
        Интеграл от косинуса есть синус:
        
        $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
        
        Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$
        
        Если сейчас заменить $u$ ещё в:
        
        $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{8}$
    1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{16}\, dx = \frac{x}{16}$
    Результат есть: $\frac{35 x}{128} - \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{24} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{7 \sin{\left(4 x \right)}}{128} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{1024}$
  Таким образом, результат будет: $945 x - 144 \sin^{3}{\left(2 x \right)} + 864 \sin{\left(2 x \right)} + 189 \sin{\left(4 x \right)} + \frac{27 \sin{\left(8 x \right)}}{8}$
1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
  
  $\int \left(- 1792 \cos^{6}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 1792 \int \cos^{6}{\left(x \right)}\, dx$
  1. Перепишите подынтегральное выражение:
    
    $\cos^{6}{\left(x \right)} = \left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{3}$
  2. Перепишите подынтегральное выражение:
    
    $\left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{3} = \frac{\cos^{3}{\left(2 x \right)}}{8} + \frac{3 \cos^{2}{\left(2 x \right)}}{8} + \frac{3 \cos{\left(2 x \right)}}{8} + \frac{1}{8}$
  3. Интегрируем почленно:
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos^{3}{\left(2 x \right)}}{8}\, dx = \frac{\int \cos^{3}{\left(2 x \right)}\, dx}{8}$
      1. Перепишите подынтегральное выражение:
        
        $\cos^{3}{\left(2 x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(2 x \right)}\right) \cos{\left(2 x \right)}$
      2. пусть $u = \sin{\left(2 x \right)}$ .
        
        Тогда пусть $du = 2 \cos{\left(2 x \right)} dx$ и подставим $du$ :
        
        $\int \left(\frac{1}{2} - \frac{u^{2}}{2}\right)\, du$
        
        Интегрируем почленно:
        
        Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
        
        $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}$
        
        Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
        
        $\int \left(- \frac{u^{2}}{2}\right)\, du = - \frac{\int u^{2}\, du}{2}$
        
        Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
        
        $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
        
        Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{6}$
        
        Результат есть: $- \frac{u^{3}}{6} + \frac{u}{2}$
        
        Если сейчас заменить $u$ ещё в:
        
        $- \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{6} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$
      Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{48} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{16}$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{3 \cos^{2}{\left(2 x \right)}}{8}\, dx = \frac{3 \int \cos^{2}{\left(2 x \right)}\, dx}{8}$
      1. Перепишите подынтегральное выражение:
        
        $\cos^{2}{\left(2 x \right)} = \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
      2. Интегрируем почленно:
        
        Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
        
        $\int \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}$
        
        пусть $u = 4 x$ .
        
        Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$ :
        
        $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{16}\, du$
        
        Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
        
        $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}$
        
        Интеграл от косинуса есть синус:
        
        $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
        
        Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}$
        
        Если сейчас заменить $u$ ещё в:
        
        $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$
        
        Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$
        
        Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
        
        $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$
        
        Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$
      Таким образом, результат будет: $\frac{3 x}{16} + \frac{3 \sin{\left(4 x \right)}}{64}$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{3 \cos{\left(2 x \right)}}{8}\, dx = \frac{3 \int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{8}$
      1. пусть $u = 2 x$ .
        
        Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
        
        $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$
        
        Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
        
        $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$
        
        Интеграл от косинуса есть синус:
        
        $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
        
        Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$
        
        Если сейчас заменить $u$ ещё в:
        
        $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$
      Таким образом, результат будет: $\frac{3 \sin{\left(2 x \right)}}{16}$
    1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{8}\, dx = \frac{x}{8}$
    Результат есть: $\frac{5 x}{16} - \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{48} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{3 \sin{\left(4 x \right)}}{64}$
  Таким образом, результат будет: $- 560 x + \frac{112 \sin^{3}{\left(2 x \right)}}{3} - 448 \sin{\left(2 x \right)} - 84 \sin{\left(4 x \right)}$
1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
  
  $\int 420 \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx = 420 \int \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx$
  1. Перепишите подынтегральное выражение:
    
    $\cos^{4}{\left(x \right)} = \left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2}$
  2. Перепишите подынтегральное выражение:
    
    $\left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{4}$
  3. Интегрируем почленно:
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{2}{\left(2 x \right)}\, dx}{4}$
      1. Перепишите подынтегральное выражение:
        
        $\cos^{2}{\left(2 x \right)} = \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
      2. Интегрируем почленно:
        
        Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
        
        $\int \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}$
        
        пусть $u = 4 x$ .
        
        Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$ :
        
        $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{16}\, du$
        
        Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
        
        $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}$
        
        Интеграл от косинуса есть синус:
        
        $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
        
        Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}$
        
        Если сейчас заменить $u$ ещё в:
        
        $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$
        
        Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$
        
        Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
        
        $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$
        
        Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$
      Таким образом, результат будет: $\frac{x}{8} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}$
      1. пусть $u = 2 x$ .
        
        Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
        
        $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$
        
        Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
        
        $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$
        
        Интеграл от косинуса есть синус:
        
        $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
        
        Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$
        
        Если сейчас заменить $u$ ещё в:
        
        $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$
    1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}$
    Результат есть: $\frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}$
  Таким образом, результат будет: $\frac{315 x}{2} + 105 \sin{\left(2 x \right)} + \frac{105 \sin{\left(4 x \right)}}{8}$
1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
  
  $\int \left(- 35 \cos^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 35 \int \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx$
  1. Перепишите подынтегральное выражение:
    
    $\cos^{2}{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
  2. Интегрируем почленно:
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}$
      1. пусть $u = 2 x$ .
        
        Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
        
        $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$
        
        Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
        
        $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$
        
        Интеграл от косинуса есть синус:
        
        $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
        
        Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$
        
        Если сейчас заменить $u$ ещё в:
        
        $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$
    1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$
    Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$
  Таким образом, результат будет: $- \frac{35 x}{2} - \frac{35 \sin{\left(2 x \right)}}{4}$
Результат есть: $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} - \frac{\sin^{3}{\left(4 x \right)}}{6} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$
Добавляем постоянную интегрирования:

$\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} - \frac{\sin^{3}{\left(4 x \right)}}{6} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} - \frac{\sin^{3}{\left(4 x \right)}}{6} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}+ \mathrm{constant}$

Ответ (Неопределённый) [src]

  /                              3                           
 |                            sin (4*x)   sin(2*x)   sin(4*x)
 | cos(7*x)*cos(5*x) dx = C - --------- + -------- + --------
 |                                6          4          8    
/

$${{\sin \left(12\,x\right)}\over{24}}+{{\sin \left(2\,x\right) }\over{4}}$$

Упростить

График

Построить график f(x)

Ответ [src]

  5*cos(7)*sin(5)   7*cos(5)*sin(7)
- --------------- + ---------------
         24                24

$${{\sin 12+6\,\sin 2}\over{24}}$$

  5*cos(7)*sin(5)   7*cos(5)*sin(7)
- --------------- + ---------------
         24                24

$$\frac{7 \sin{\left(7 \right)} \cos{\left(5 \right)}}{24} - \frac{5 \sin{\left(5 \right)} \cos{\left(7 \right)}}{24}$$

Упростить

Численный ответ [src]

0.204967151789736

0.204967151789736

График

Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Интеграл cos(7x)cos(5*x) d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Метод #1

Метод #1

Метод #2

Метод #3

Метод #2

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Интеграл cos(7*x)*cos(5*x) d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Метод #1

Метод #1

Метод #2

Метод #3

Метод #2

Интеграл cos(7x)cos(5*x) d{x}