Интеграл cos(2*x)*cos(x) d{x}

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)} = 2 \cos^{3}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}$

2. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 2 \cos^{3}{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \cos^{3}{\left(x \right)}\, dx$

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\cos^{3}{\left(x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)}$

      2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

         Метод #1

         1. пусть $u = \sin{\left(x \right)}$.

            Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$:

            $\int \left(1 - u^{2}\right)\, du$

            1. Интегрируем почленно:

               1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                  $\int 1\, du = u$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$

                  1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

                     $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                  Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{3}$

               Результат есть: $- \frac{u^{3}}{3} + u$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}$

         Метод #2

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)} = - \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$

         2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \left(- \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

               1. пусть $u = \sin{\left(x \right)}$.

                  Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$:

                  $\int u^{2}\, du$

                  1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

                     $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$

            1. Интеграл от косинуса есть синус:

               $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

            Результат есть: $- \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}$

         Метод #3

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)} = - \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$

         2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \left(- \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

               1. пусть $u = \sin{\left(x \right)}$.

                  Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$:

                  $\int u^{2}\, du$

                  1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

                     $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$

            1. Интеграл от косинуса есть синус:

               $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

            Результат есть: $- \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{2 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + 2 \sin{\left(x \right)}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \left(- \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \cos{\left(x \right)}\, dx$

      1. Интеграл от косинуса есть синус:

         $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

      Таким образом, результат будет: $- \sin{\left(x \right)}$

   Результат есть: $- \frac{2 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{2 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$- \frac{2 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$