Интеграл e^x*sin(x/2) d{x}

Решение

Вы ввели [src]

  1             
  /             
 |              
 |   x    /x\   
 |  e *sin|-| dx
 |        \2/   
 |              
/               
0

$$\int\limits_{0}^{1} e^{x} \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx$$

Упростить

Подробное решение

Используем интегрирование по частям, отметим, что в конечном итоге подынтегральное выражение повторяется.
1. Для подинтегрального выражения $e^{x} \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$ :
  
  пусть $u{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}$ .
  
  Затем $\int e^{x} \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx = e^{x} \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} - \int \frac{e^{x} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}\, dx$ .
2. Для подинтегрального выражения $\frac{e^{x} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}$ :
  
  пусть $u{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}$ .
  
  Затем $\int e^{x} \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx = e^{x} \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} - \frac{e^{x} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \int \left(- \frac{e^{x} \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{4}\right)\, dx$ .
3. Обратите внимание, что подынтегральное выражение повторилось, поэтому переместим его в сторону:
  
  $\frac{5 \int e^{x} \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx}{4} = e^{x} \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} - \frac{e^{x} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}$
  
  Поэтому,
  
  $\int e^{x} \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx = \frac{4 e^{x} \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{5} - \frac{2 e^{x} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{5}$
Теперь упростить:

$\frac{2 \cdot \left(2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) e^{x}}{5}$
Добавляем постоянную интегрирования:

$\frac{2 \cdot \left(2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) e^{x}}{5}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{2 \cdot \left(2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) e^{x}}{5}+ \mathrm{constant}$

Ответ (Неопределённый) [src]

  /                        /x\  x      x    /x\
 |                    2*cos|-|*e    4*e *sin|-|
 |  x    /x\               \2/              \2/
 | e *sin|-| dx = C - ----------- + -----------
 |       \2/               5             5     
 |                                             
/

$${{2\,\left(2\,\sin \left({{x}\over{2}}\right)-\cos \left({{x}\over{ 2}}\right)\right)\,e^{x}}\over{5}}$$

Упростить

График

Построить график f(x)

Ответ [src]

2   2*e*cos(1/2)   4*e*sin(1/2)
- - ------------ + ------------
5        5              5

$${{4\,e\,\sin \left({{1}\over{2}}\right)-2\,e\,\cos \left({{1}\over{ 2}}\right)}\over{5}}+{{2}\over{5}}$$

2   2*e*cos(1/2)   4*e*sin(1/2)
- - ------------ + ------------
5        5              5

$$- \frac{2 e \cos{\left(\frac{1}{2} \right)}}{5} + \frac{2}{5} + \frac{4 e \sin{\left(\frac{1}{2} \right)}}{5}$$

Упростить

Численный ответ [src]

0.488364291365942

0.488364291365942

График

$Интеграл e^x*sin(x/2) d{x}$

Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Интеграл e^x*sin(x/2) d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение