Интеграл e^x*cos(5*x) d{x}

1. Используем интегрирование по частям, отметим, что в конечном итоге подынтегральное выражение повторяется.

   1. Для подинтегрального выражения $e^{x} \cos{\left(5 x \right)}$:

      пусть $u{\left(x \right)} = \cos{\left(5 x \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}$.

      Затем $\int e^{x} \cos{\left(5 x \right)}\, dx = e^{x} \cos{\left(5 x \right)} - \int \left(- 5 e^{x} \sin{\left(5 x \right)}\right)\, dx$.

   2. Для подинтегрального выражения $- 5 e^{x} \sin{\left(5 x \right)}$:

      пусть $u{\left(x \right)} = - 5 \sin{\left(5 x \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}$.

      Затем $\int e^{x} \cos{\left(5 x \right)}\, dx = 5 e^{x} \sin{\left(5 x \right)} + e^{x} \cos{\left(5 x \right)} + \int \left(- 25 e^{x} \cos{\left(5 x \right)}\right)\, dx$.

   3. Обратите внимание, что подынтегральное выражение повторилось, поэтому переместим его в сторону:

      $26 \int e^{x} \cos{\left(5 x \right)}\, dx = 5 e^{x} \sin{\left(5 x \right)} + e^{x} \cos{\left(5 x \right)}$

      Поэтому,

      $\int e^{x} \cos{\left(5 x \right)}\, dx = \frac{5 e^{x} \sin{\left(5 x \right)}}{26} + \frac{e^{x} \cos{\left(5 x \right)}}{26}$

2. Теперь упростить:

   $\frac{\left(5 \sin{\left(5 x \right)} + \cos{\left(5 x \right)}\right) e^{x}}{26}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{\left(5 \sin{\left(5 x \right)} + \cos{\left(5 x \right)}\right) e^{x}}{26}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{\left(5 \sin{\left(5 x \right)} + \cos{\left(5 x \right)}\right) e^{x}}{26}+ \mathrm{constant}$