Интеграл (e^x)/(5+e^x) d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = e^{x}$.

      Тогда пусть $du = e^{x} dx$ и подставим $du$:

      $\int \frac{1}{u + 5}\, du$

      1. пусть $u = u + 5$.

         Тогда пусть $du = du$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\log{\left(u + 5 \right)}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\log{\left(e^{x} + 5 \right)}$

   Метод #2

   1. пусть $u = e^{x} + 5$.

      Тогда пусть $du = e^{x} dx$ и подставим $du$:

      $\int \frac{1}{u}\, du$

      1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\log{\left(e^{x} + 5 \right)}$

2. Теперь упростить:

   $\log{\left(e^{x} + 5 \right)}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\log{\left(e^{x} + 5 \right)}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\log{\left(e^{x} + 5 \right)}+ \mathrm{constant}$