Интеграл e^(3*x+5) d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $e^{3 x + 5} = e^{5} e^{3 x}$

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int e^{5} e^{3 x}\, dx = e^{5} \int e^{3 x}\, dx$

      1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

         Метод #1

         1. пусть $u = 3 x$.

            Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$:

            $\int \frac{e^{u}}{9}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{e^{u}}{3}\, du = \frac{\int e^{u}\, du}{3}$

               1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{e^{u}}{3}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{e^{3 x}}{3}$

         Метод #2

         1. пусть $u = e^{3 x}$.

            Тогда пусть $du = 3 e^{3 x} dx$ и подставим $\frac{du}{3}$:

            $\int \frac{1}{9}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{1}{3}\, du = \frac{\int 1\, du}{3}$

               1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                  $\int 1\, du = u$

               Таким образом, результат будет: $\frac{u}{3}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{e^{3 x}}{3}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{e^{5} e^{3 x}}{3}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $e^{3 x + 5} = e^{5} e^{3 x}$

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int e^{5} e^{3 x}\, dx = e^{5} \int e^{3 x}\, dx$

      1. пусть $u = 3 x$.

         Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$:

         $\int \frac{e^{u}}{9}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{e^{u}}{3}\, du = \frac{\int e^{u}\, du}{3}$

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{e^{u}}{3}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{e^{3 x}}{3}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{e^{5} e^{3 x}}{3}$

2. Теперь упростить:

   $\frac{e^{3 x + 5}}{3}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{e^{3 x + 5}}{3}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{e^{3 x + 5}}{3}+ \mathrm{constant}$