Интеграл e^(sin(x))*cos(x)*sin(x) d{x}

1. пусть $u = \sin{\left(x \right)}$.

   Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$:

   $\int u e^{u}\, du$

   1. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left(u \right)} = u$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

      Затем $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

      Чтобы найти $v{\left(u \right)}$:

      1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

         $\int e^{u}\, du = e^{u}$

      Теперь решаем под-интеграл.

   2. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

      $\int e^{u}\, du = e^{u}$

   Если сейчас заменить $u$ ещё в:

   $e^{\sin{\left(x \right)}} \sin{\left(x \right)} - e^{\sin{\left(x \right)}}$

2. Теперь упростить:

   $\left(\sin{\left(x \right)} - 1\right) e^{\sin{\left(x \right)}}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\left(\sin{\left(x \right)} - 1\right) e^{\sin{\left(x \right)}}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\left(\sin{\left(x \right)} - 1\right) e^{\sin{\left(x \right)}}+ \mathrm{constant}$