Интеграл e^(sin(x)+1)*cos(x) d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $e^{\sin{\left(x \right)} + 1} \cos{\left(x \right)} = e e^{\sin{\left(x \right)}} \cos{\left(x \right)}$

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int e e^{\sin{\left(x \right)}} \cos{\left(x \right)}\, dx = e \int e^{\sin{\left(x \right)}} \cos{\left(x \right)}\, dx$

      1. пусть $u = e^{\sin{\left(x \right)}}$.

         Тогда пусть $du = e^{\sin{\left(x \right)}} \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$:

         $\int 1\, du$

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int 1\, du = u$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $e^{\sin{\left(x \right)}}$

      Таким образом, результат будет: $e e^{\sin{\left(x \right)}}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $e^{\sin{\left(x \right)} + 1} \cos{\left(x \right)} = e e^{\sin{\left(x \right)}} \cos{\left(x \right)}$

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int e e^{\sin{\left(x \right)}} \cos{\left(x \right)}\, dx = e \int e^{\sin{\left(x \right)}} \cos{\left(x \right)}\, dx$

      1. пусть $u = e^{\sin{\left(x \right)}}$.

         Тогда пусть $du = e^{\sin{\left(x \right)}} \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$:

         $\int 1\, du$

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int 1\, du = u$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $e^{\sin{\left(x \right)}}$

      Таким образом, результат будет: $e e^{\sin{\left(x \right)}}$

2. Теперь упростить:

   $e^{\sin{\left(x \right)} + 1}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $e^{\sin{\left(x \right)} + 1}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$e^{\sin{\left(x \right)} + 1}+ \mathrm{constant}$