Интеграл log(3*x)*dx d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 3 x$.

      Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$:

      $\int \frac{\log{\left(u \right)}}{9}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{\log{\left(u \right)}}{3}\, du = \frac{\int \log{\left(u \right)}\, du}{3}$

         1. Используем интегрирование по частям:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            пусть $u{\left(u \right)} = \log{\left(u \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = 1$.

            Затем $\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{1}{u}$.

            Чтобы найти $v{\left(u \right)}$:

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int 1\, du = u$

            Теперь решаем под-интеграл.

         2. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int 1\, du = u$

         Таким образом, результат будет: $\frac{u \log{\left(u \right)}}{3} - \frac{u}{3}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $x \log{\left(3 x \right)} - x$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\log{\left(3 x \right)} 1 = \log{\left(x \right)} + \log{\left(3 \right)}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Используем интегрирование по частям:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         пусть $u{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$.

         Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$.

         Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int 1\, dx = x$

         Теперь решаем под-интеграл.

      2. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, dx = x$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int \log{\left(3 \right)}\, dx = x \log{\left(3 \right)}$

      Результат есть: $x \log{\left(x \right)} - x + x \log{\left(3 \right)}$

   Метод #3

   1. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left(x \right)} = \log{\left(3 x \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$.

      Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$.

      Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, dx = x$

      Теперь решаем под-интеграл.

   2. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int 1\, dx = x$

2. Теперь упростить:

   $x \left(\log{\left(3 x \right)} - 1\right)$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $x \left(\log{\left(3 x \right)} - 1\right)+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$x \left(\log{\left(3 x \right)} - 1\right)+ \mathrm{constant}$