Интеграл exp(sqrt(x)) d{x}

1. пусть $u = \sqrt{x}$.

   Тогда пусть $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ и подставим $2 du$:

   $\int 4 u e^{u}\, du$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 2 u e^{u}\, du = 2 \int u e^{u}\, du$

      1. Используем интегрирование по частям:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         пусть $u{\left(u \right)} = u$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

         Затем $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

         Чтобы найти $v{\left(u \right)}$:

         1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Теперь решаем под-интеграл.

      2. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

         $\int e^{u}\, du = e^{u}$

      Таким образом, результат будет: $2 u e^{u} - 2 e^{u}$

   Если сейчас заменить $u$ ещё в:

   $2 \sqrt{x} e^{\sqrt{x}} - 2 e^{\sqrt{x}}$

2. Теперь упростить:

   $2 \left(\sqrt{x} - 1\right) e^{\sqrt{x}}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $2 \left(\sqrt{x} - 1\right) e^{\sqrt{x}}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$2 \left(\sqrt{x} - 1\right) e^{\sqrt{x}}+ \mathrm{constant}$