Интеграл exp(i*x)*cos(x) d{x}

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{i x}$.

   Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$.

   Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

   1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть $u = i x$.

         Тогда пусть $du = i dx$ и подставим $- i du$:

         $\int \left(- e^{u}\right)\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \left(- i e^{u}\right)\, du = - i \int e^{u}\, du$

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Таким образом, результат будет: $- i e^{u}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- i e^{i x}$

      Метод #2

      1. пусть $u = e^{i x}$.

         Тогда пусть $du = i e^{i x} dx$ и подставим $- i du$:

         $\int \left(-1\right)\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \left(- i\right)\, du = - i \int 1\, du$

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int 1\, du = u$

            Таким образом, результат будет: $- u i$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- i e^{i x}$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int i e^{i x} \sin{\left(x \right)}\, dx = i \int e^{i x} \sin{\left(x \right)}\, dx$

   1. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{i x}$.

      Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$.

      Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

      1. пусть $u = i x$.

         Тогда пусть $du = i dx$ и подставим $- i du$:

         $\int \left(- e^{u}\right)\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \left(- i e^{u}\right)\, du = - i \int e^{u}\, du$

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Таким образом, результат будет: $- i e^{u}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- i e^{i x}$

      Теперь решаем под-интеграл.

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \left(- i e^{i x} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - i \int e^{i x} \cos{\left(x \right)}\, dx$

      1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.

         Но интеграл

         $\frac{x}{2} - \frac{i e^{2 i x}}{4}$

      Таким образом, результат будет: $- i \left(\frac{x}{2} - \frac{i e^{2 i x}}{4}\right)$

   Таким образом, результат будет: $i \left(i \left(\frac{x}{2} - \frac{i e^{2 i x}}{4}\right) - i e^{i x} \sin{\left(x \right)}\right)$

3. Теперь упростить:

   $\frac{x}{2} - \frac{i e^{2 i x}}{4} - e^{i x} \sin{\left(x \right)} - i e^{i x} \cos{\left(x \right)}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x}{2} - \frac{i e^{2 i x}}{4} - e^{i x} \sin{\left(x \right)} - i e^{i x} \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{x}{2} - \frac{i e^{2 i x}}{4} - e^{i x} \sin{\left(x \right)} - i e^{i x} \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$