Интеграл dx/e^(2*x-1) d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $1 \cdot \frac{1}{e^{2 x - 1}} = e e^{- 2 x}$

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int e e^{- 2 x}\, dx = e \int e^{- 2 x}\, dx$

      1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

         Метод #1

         1. пусть $u = - 2 x$.

            Тогда пусть $du = - 2 dx$ и подставим $- \frac{du}{2}$:

            $\int \frac{e^{u}}{4}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \left(- \frac{e^{u}}{2}\right)\, du = - \frac{\int e^{u}\, du}{2}$

               1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{e^{u}}{2}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \frac{e^{- 2 x}}{2}$

         Метод #2

         1. пусть $u = e^{- 2 x}$.

            Тогда пусть $du = - 2 e^{- 2 x} dx$ и подставим $- \frac{du}{2}$:

            $\int \frac{1}{4}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \left(- \frac{1}{2}\right)\, du = - \frac{\int 1\, du}{2}$

               1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                  $\int 1\, du = u$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{u}{2}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \frac{e^{- 2 x}}{2}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{e e^{- 2 x}}{2}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $1 \cdot \frac{1}{e^{2 x - 1}} = e e^{- 2 x}$

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int e e^{- 2 x}\, dx = e \int e^{- 2 x}\, dx$

      1. пусть $u = - 2 x$.

         Тогда пусть $du = - 2 dx$ и подставим $- \frac{du}{2}$:

         $\int \frac{e^{u}}{4}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \left(- \frac{e^{u}}{2}\right)\, du = - \frac{\int e^{u}\, du}{2}$

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{e^{u}}{2}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{e^{- 2 x}}{2}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{e e^{- 2 x}}{2}$

2. Теперь упростить:

   $- \frac{e^{1 - 2 x}}{2}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{e^{1 - 2 x}}{2}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$- \frac{e^{1 - 2 x}}{2}+ \mathrm{constant}$