Интеграл (12*x-5)^7 d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 12 x - 5$.

      Тогда пусть $du = 12 dx$ и подставим $\frac{du}{12}$:

      $\int \frac{u^{7}}{144}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{u^{7}}{12}\, du = \frac{\int u^{7}\, du}{12}$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int u^{7}\, du = \frac{u^{8}}{8}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{u^{8}}{96}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{\left(12 x - 5\right)^{8}}{96}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(12 x - 5\right)^{7} = 35831808 x^{7} - 104509440 x^{6} + 130636800 x^{5} - 90720000 x^{4} + 37800000 x^{3} - 9450000 x^{2} + 1312500 x - 78125$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 35831808 x^{7}\, dx = 35831808 \int x^{7}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

         Таким образом, результат будет: $4478976 x^{8}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 104509440 x^{6}\right)\, dx = - 104509440 \int x^{6}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

         Таким образом, результат будет: $- 14929920 x^{7}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 130636800 x^{5}\, dx = 130636800 \int x^{5}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Таким образом, результат будет: $21772800 x^{6}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 90720000 x^{4}\right)\, dx = - 90720000 \int x^{4}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Таким образом, результат будет: $- 18144000 x^{5}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 37800000 x^{3}\, dx = 37800000 \int x^{3}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Таким образом, результат будет: $9450000 x^{4}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 9450000 x^{2}\right)\, dx = - 9450000 \int x^{2}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $- 3150000 x^{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 1312500 x\, dx = 1312500 \int x\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $656250 x^{2}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int \left(-78125\right)\, dx = - 78125 x$

      Результат есть: $4478976 x^{8} - 14929920 x^{7} + 21772800 x^{6} - 18144000 x^{5} + 9450000 x^{4} - 3150000 x^{3} + 656250 x^{2} - 78125 x$

2. Теперь упростить:

   $\frac{\left(12 x - 5\right)^{8}}{96}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{\left(12 x - 5\right)^{8}}{96}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{\left(12 x - 5\right)^{8}}{96}+ \mathrm{constant}$