Интеграл 2^cos(x)*sin(x) d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 2^{\cos{\left(x \right)}}$.

      Тогда пусть $du = - 2^{\cos{\left(x \right)}} \log{\left(2 \right)} \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- \frac{du}{\log{\left(2 \right)}}$:

      $\int \frac{1}{\log{\left(2 \right)}^{2}}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \frac{1}{\log{\left(2 \right)}}\right)\, du = - \frac{\int 1\, du}{\log{\left(2 \right)}}$

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int 1\, du = u$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{u}{\log{\left(2 \right)}}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{2^{\cos{\left(x \right)}}}{\log{\left(2 \right)}}$

   Метод #2

   1. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$.

      Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$:

      $\int 2^{u}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 2^{u}\right)\, du = - \int 2^{u}\, du$

         1. Интеграл экспоненциальной функции равен ему же, деленному на натуральный логарифм основания.

            $\int 2^{u}\, du = \frac{2^{u}}{\log{\left(2 \right)}}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{2^{u}}{\log{\left(2 \right)}}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{2^{\cos{\left(x \right)}}}{\log{\left(2 \right)}}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{2^{\cos{\left(x \right)}}}{\log{\left(2 \right)}}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$- \frac{2^{\cos{\left(x \right)}}}{\log{\left(2 \right)}}+ \mathrm{constant}$