Интеграл (2*x+1)^20 d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 2 x + 1$.

      Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{u^{20}}{4}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{u^{20}}{2}\, du = \frac{\int u^{20}\, du}{2}$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int u^{20}\, du = \frac{u^{21}}{21}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{u^{21}}{42}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{\left(2 x + 1\right)^{21}}{42}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(2 x + 1\right)^{20} = 1048576 x^{20} + 10485760 x^{19} + 49807360 x^{18} + 149422080 x^{17} + 317521920 x^{16} + 508035072 x^{15} + 635043840 x^{14} + 635043840 x^{13} + 515973120 x^{12} + 343982080 x^{11} + 189190144 x^{10} + 85995520 x^{9} + 32248320 x^{8} + 9922560 x^{7} + 2480640 x^{6} + 496128 x^{5} + 77520 x^{4} + 9120 x^{3} + 760 x^{2} + 40 x + 1$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 1048576 x^{20}\, dx = 1048576 \int x^{20}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{20}\, dx = \frac{x^{21}}{21}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{1048576 x^{21}}{21}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 10485760 x^{19}\, dx = 10485760 \int x^{19}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{19}\, dx = \frac{x^{20}}{20}$

         Таким образом, результат будет: $524288 x^{20}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 49807360 x^{18}\, dx = 49807360 \int x^{18}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{18}\, dx = \frac{x^{19}}{19}$

         Таким образом, результат будет: $2621440 x^{19}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 149422080 x^{17}\, dx = 149422080 \int x^{17}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{17}\, dx = \frac{x^{18}}{18}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{24903680 x^{18}}{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 317521920 x^{16}\, dx = 317521920 \int x^{16}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{16}\, dx = \frac{x^{17}}{17}$

         Таким образом, результат будет: $18677760 x^{17}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 508035072 x^{15}\, dx = 508035072 \int x^{15}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{15}\, dx = \frac{x^{16}}{16}$

         Таким образом, результат будет: $31752192 x^{16}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 635043840 x^{14}\, dx = 635043840 \int x^{14}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{14}\, dx = \frac{x^{15}}{15}$

         Таким образом, результат будет: $42336256 x^{15}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 635043840 x^{13}\, dx = 635043840 \int x^{13}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{13}\, dx = \frac{x^{14}}{14}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{317521920 x^{14}}{7}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 515973120 x^{12}\, dx = 515973120 \int x^{12}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{12}\, dx = \frac{x^{13}}{13}$

         Таким образом, результат будет: $39690240 x^{13}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 343982080 x^{11}\, dx = 343982080 \int x^{11}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{11}\, dx = \frac{x^{12}}{12}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{85995520 x^{12}}{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 189190144 x^{10}\, dx = 189190144 \int x^{10}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{10}\, dx = \frac{x^{11}}{11}$

         Таким образом, результат будет: $17199104 x^{11}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 85995520 x^{9}\, dx = 85995520 \int x^{9}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{9}\, dx = \frac{x^{10}}{10}$

         Таким образом, результат будет: $8599552 x^{10}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 32248320 x^{8}\, dx = 32248320 \int x^{8}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{8}\, dx = \frac{x^{9}}{9}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{10749440 x^{9}}{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 9922560 x^{7}\, dx = 9922560 \int x^{7}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

         Таким образом, результат будет: $1240320 x^{8}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 2480640 x^{6}\, dx = 2480640 \int x^{6}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{2480640 x^{7}}{7}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 496128 x^{5}\, dx = 496128 \int x^{5}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Таким образом, результат будет: $82688 x^{6}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 77520 x^{4}\, dx = 77520 \int x^{4}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Таким образом, результат будет: $15504 x^{5}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 9120 x^{3}\, dx = 9120 \int x^{3}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Таким образом, результат будет: $2280 x^{4}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 760 x^{2}\, dx = 760 \int x^{2}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{760 x^{3}}{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 40 x\, dx = 40 \int x\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $20 x^{2}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, dx = x$

      Результат есть: $\frac{1048576 x^{21}}{21} + 524288 x^{20} + 2621440 x^{19} + \frac{24903680 x^{18}}{3} + 18677760 x^{17} + 31752192 x^{16} + 42336256 x^{15} + \frac{317521920 x^{14}}{7} + 39690240 x^{13} + \frac{85995520 x^{12}}{3} + 17199104 x^{11} + 8599552 x^{10} + \frac{10749440 x^{9}}{3} + 1240320 x^{8} + \frac{2480640 x^{7}}{7} + 82688 x^{6} + 15504 x^{5} + 2280 x^{4} + \frac{760 x^{3}}{3} + 20 x^{2} + x$

2. Теперь упростить:

   $\frac{\left(2 x + 1\right)^{21}}{42}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{\left(2 x + 1\right)^{21}}{42}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{\left(2 x + 1\right)^{21}}{42}+ \mathrm{constant}$