Интеграл 2*sin(2*x)-1 d{x}

1. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 2 \sin{\left(2 x \right)}\, dx = 2 \int \sin{\left(2 x \right)}\, dx$

      1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

         Метод #1

         1. пусть $u = 2 x$.

            Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{4}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}$

               1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

                  $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}$

         Метод #2

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

            1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

               Метод #1

               1. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$.

                  Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$:

                  $\int u\, du$

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int \left(- u\right)\, du = - \int u\, du$

                     1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

                        $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

                     Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{2}}{2}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}$

               Метод #2

               1. пусть $u = \sin{\left(x \right)}$.

                  Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$:

                  $\int u\, du$

                  1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

                     $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{2}$

            Таким образом, результат будет: $- \cos^{2}{\left(x \right)}$

      Таким образом, результат будет: $- \cos{\left(2 x \right)}$

   1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int \left(\left(-1\right) 1\right)\, dx = - x$

   Результат есть: $- x - \cos{\left(2 x \right)}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- x - \cos{\left(2 x \right)}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$- x - \cos{\left(2 x \right)}+ \mathrm{constant}$