Интеграл (2+3*x)^7 d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 3 x + 2$.

      Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$:

      $\int \frac{u^{7}}{9}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{u^{7}}{3}\, du = \frac{\int u^{7}\, du}{3}$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int u^{7}\, du = \frac{u^{8}}{8}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{u^{8}}{24}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{\left(3 x + 2\right)^{8}}{24}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(3 x + 2\right)^{7} = 2187 x^{7} + 10206 x^{6} + 20412 x^{5} + 22680 x^{4} + 15120 x^{3} + 6048 x^{2} + 1344 x + 128$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 2187 x^{7}\, dx = 2187 \int x^{7}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{2187 x^{8}}{8}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 10206 x^{6}\, dx = 10206 \int x^{6}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

         Таким образом, результат будет: $1458 x^{7}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 20412 x^{5}\, dx = 20412 \int x^{5}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Таким образом, результат будет: $3402 x^{6}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 22680 x^{4}\, dx = 22680 \int x^{4}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Таким образом, результат будет: $4536 x^{5}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 15120 x^{3}\, dx = 15120 \int x^{3}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Таким образом, результат будет: $3780 x^{4}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 6048 x^{2}\, dx = 6048 \int x^{2}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $2016 x^{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 1344 x\, dx = 1344 \int x\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $672 x^{2}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 128\, dx = 128 x$

      Результат есть: $\frac{2187 x^{8}}{8} + 1458 x^{7} + 3402 x^{6} + 4536 x^{5} + 3780 x^{4} + 2016 x^{3} + 672 x^{2} + 128 x$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{\left(3 x + 2\right)^{8}}{24}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{\left(3 x + 2\right)^{8}}{24}+ \mathrm{constant}$