Интеграл (5*x-1)^3 d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 5 x - 1$.

      Тогда пусть $du = 5 dx$ и подставим $\frac{du}{5}$:

      $\int \frac{u^{3}}{25}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{u^{3}}{5}\, du = \frac{\int u^{3}\, du}{5}$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{u^{4}}{20}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{\left(5 x - 1\right)^{4}}{20}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(5 x - 1\right)^{3} = 125 x^{3} - 75 x^{2} + 15 x - 1$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 125 x^{3}\, dx = 125 \int x^{3}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{125 x^{4}}{4}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 75 x^{2}\right)\, dx = - 75 \int x^{2}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $- 25 x^{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 15 x\, dx = 15 \int x\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{15 x^{2}}{2}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int \left(-1\right)\, dx = - x$

      Результат есть: $\frac{125 x^{4}}{4} - 25 x^{3} + \frac{15 x^{2}}{2} - x$

2. Теперь упростить:

   $\frac{\left(5 x - 1\right)^{4}}{20}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{\left(5 x - 1\right)^{4}}{20}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{\left(5 x - 1\right)^{4}}{20}+ \mathrm{constant}$