Интеграл (2-x)/x^3 d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = - x$.

      Тогда пусть $du = - dx$ и подставим $du$:

      $\int \frac{u + 2}{u^{3}}\, du$

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{u + 2}{u^{3}} = \frac{1}{u^{2}} + \frac{2}{u^{3}}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{2}{u^{3}}\, du = 2 \int \frac{1}{u^{3}}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{u^{2}}$

         Результат есть: $- \frac{1}{u} - \frac{1}{u^{2}}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{2 - x}{x^{3}} = - \frac{1}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \frac{1}{x^{2}}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x^{2}}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{1}{x}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{2}{x^{3}}\, dx = 2 \int \frac{1}{x^{3}}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{x^{3}}\, dx = - \frac{1}{2 x^{2}}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{x^{2}}$

      Результат есть: $\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}$

2. Теперь упростить:

   $\frac{x - 1}{x^{2}}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x - 1}{x^{2}}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{x - 1}{x^{2}}+ \mathrm{constant}$