Интеграл (2-5*x)^3*dx d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 2 - 5 x$.

      Тогда пусть $du = - 5 dx$ и подставим $- \frac{du}{5}$:

      $\int \frac{u^{3}}{25}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \frac{u^{3}}{5}\right)\, du = - \frac{\int u^{3}\, du}{5}$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{4}}{20}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{\left(2 - 5 x\right)^{4}}{20}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(2 - 5 x\right)^{3} \cdot 1 = - 125 x^{3} + 150 x^{2} - 60 x + 8$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 125 x^{3}\right)\, dx = - 125 \int x^{3}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{125 x^{4}}{4}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 150 x^{2}\, dx = 150 \int x^{2}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $50 x^{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 60 x\right)\, dx = - 60 \int x\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $- 30 x^{2}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 8\, dx = 8 x$

      Результат есть: $- \frac{125 x^{4}}{4} + 50 x^{3} - 30 x^{2} + 8 x$

2. Теперь упростить:

   $- \frac{\left(5 x - 2\right)^{4}}{20}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{\left(5 x - 2\right)^{4}}{20}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$- \frac{\left(5 x - 2\right)^{4}}{20}+ \mathrm{constant}$