Господин Экзамен

Lang:

Интеграл du/cos(u) d{x}

Решение

Вы ввели [src]

  1            
  /            
 |             
 |      1      
 |  1*------ du
 |    cos(u)   
 |             
/              
0

$$\int\limits_{0}^{1} 1 \cdot \frac{1}{\cos{\left(u \right)}}\, du$$

Упростить

Подробное решение

Дан интеграл:

  /             
 |              
 |       1      
 | 1*1*------ du
 |     cos(u)   
 |              
/

Подинтегральная функция

    1   
1*------
  cos(u)

Домножим числитель и знаменатель на

cos(u)

получим

    1      1*cos(1*u)
1*------ = ----------
  cos(u)      2      
           cos (1*u)

Т.к.

sin(a)^2 + cos(a)^2 = 1

то

   2             2   
cos (u) = 1 - sin (u)

преобразуем знаменатель

1*cos(1*u)     1*cos(1*u) 
---------- = -------------
   2                2     
cos (1*u)    1 - sin (1*u)

сделаем замену

u = sin(u)

тогда интеграл

  /                  
 |                   
 |   1*cos(1*u)      
 | ------------- du  
 |        2         =
 | 1 - sin (1*u)     
 |                   
/

  /                  
 |                   
 |   1*cos(1*u)      
 | ------------- du  
 |        2         =
 | 1 - sin (1*u)     
 |                   
/

Т.к. du = du*cos(u)

  /                
 |                 
 |   1*cos(1*u)    
 | ------------- du
 |        2        
 | 1 - sin (1*u)   
 |                 
/

Перепишем подинтегральную функцию

  1*cos(1*u)    1*1 /  1       1  \
------------- = ---*|----- + -----|
       2         2  \1 - u   1 + u/
1 - sin (1*u)

тогда

                        /             /          
                       |             |           
                       |   1         |   1       
                       | ----- du    | ----- du  
  /                    | 1 + u       | 1 - u     
 |                     |             |           
 |   1*cos(1*u)       /             /           =
 | ------------- du = ----------- + -----------  
 |        2                2             2       
 | 1 - sin (1*u)                                 
 |                                               
/

= log(1 + sin(u))/2 - log(-1 + sin(u))/2

делаем обратную замену

u = sin(u)

Ответ

  /                                                       
 |                                                        
 |       1         log(1 + sin(u))   log(-1 + sin(u))     
 | 1*1*------ du = --------------- - ---------------- + C0
 |     cos(u)             2                 2             
 |                                                        
/

где C0 - это постоянная, не зависящая от u

Ответ (Неопределённый) [src]

  /                                                    
 |                                                     
 |     1             log(1 + sin(u))   log(-1 + sin(u))
 | 1*------ du = C + --------------- - ----------------
 |   cos(u)                 2                 2        
 |                                                     
/

$${{\log \left(\sin u+1\right)}\over{2}}-{{\log \left(\sin u-1\right) }\over{2}}$$

Упростить

График

Построить график f(x)

Ответ [src]

log(1 + sin(1))   log(1 - sin(1))
--------------- - ---------------
       2                 2

$${{\log \left(\sin 1+1\right)}\over{2}}-{{\log \left(1-\sin 1\right) }\over{2}}$$

log(1 + sin(1))   log(1 - sin(1))
--------------- - ---------------
       2                 2

$$\frac{\log{\left(\sin{\left(1 \right)} + 1 \right)}}{2} - \frac{\log{\left(- \sin{\left(1 \right)} + 1 \right)}}{2}$$

Упростить

Численный ответ [src]

1.22619117088352

1.22619117088352

График

Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Интеграл du/cos(u) d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение