Интеграл (10*x-11)^4 d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 10 x - 11$.

      Тогда пусть $du = 10 dx$ и подставим $\frac{du}{10}$:

      $\int \frac{u^{4}}{100}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{u^{4}}{10}\, du = \frac{\int u^{4}\, du}{10}$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{u^{5}}{50}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{\left(10 x - 11\right)^{5}}{50}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(10 x - 11\right)^{4} = 10000 x^{4} - 44000 x^{3} + 72600 x^{2} - 53240 x + 14641$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 10000 x^{4}\, dx = 10000 \int x^{4}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Таким образом, результат будет: $2000 x^{5}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 44000 x^{3}\right)\, dx = - 44000 \int x^{3}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Таким образом, результат будет: $- 11000 x^{4}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 72600 x^{2}\, dx = 72600 \int x^{2}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $24200 x^{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 53240 x\right)\, dx = - 53240 \int x\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $- 26620 x^{2}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 14641\, dx = 14641 x$

      Результат есть: $2000 x^{5} - 11000 x^{4} + 24200 x^{3} - 26620 x^{2} + 14641 x$

2. Теперь упростить:

   $\frac{\left(10 x - 11\right)^{5}}{50}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{\left(10 x - 11\right)^{5}}{50}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{\left(10 x - 11\right)^{5}}{50}+ \mathrm{constant}$