Интеграл (4*x+3)^8 d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 4 x + 3$.

      Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$:

      $\int \frac{u^{8}}{16}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{u^{8}}{4}\, du = \frac{\int u^{8}\, du}{4}$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{u^{9}}{36}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{\left(4 x + 3\right)^{9}}{36}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(4 x + 3\right)^{8} = 65536 x^{8} + 393216 x^{7} + 1032192 x^{6} + 1548288 x^{5} + 1451520 x^{4} + 870912 x^{3} + 326592 x^{2} + 69984 x + 6561$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 65536 x^{8}\, dx = 65536 \int x^{8}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{8}\, dx = \frac{x^{9}}{9}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{65536 x^{9}}{9}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 393216 x^{7}\, dx = 393216 \int x^{7}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

         Таким образом, результат будет: $49152 x^{8}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 1032192 x^{6}\, dx = 1032192 \int x^{6}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

         Таким образом, результат будет: $147456 x^{7}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 1548288 x^{5}\, dx = 1548288 \int x^{5}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Таким образом, результат будет: $258048 x^{6}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 1451520 x^{4}\, dx = 1451520 \int x^{4}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Таким образом, результат будет: $290304 x^{5}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 870912 x^{3}\, dx = 870912 \int x^{3}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Таким образом, результат будет: $217728 x^{4}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 326592 x^{2}\, dx = 326592 \int x^{2}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $108864 x^{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 69984 x\, dx = 69984 \int x\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $34992 x^{2}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 6561\, dx = 6561 x$

      Результат есть: $\frac{65536 x^{9}}{9} + 49152 x^{8} + 147456 x^{7} + 258048 x^{6} + 290304 x^{5} + 217728 x^{4} + 108864 x^{3} + 34992 x^{2} + 6561 x$

2. Теперь упростить:

   $\frac{\left(4 x + 3\right)^{9}}{36}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{\left(4 x + 3\right)^{9}}{36}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{\left(4 x + 3\right)^{9}}{36}+ \mathrm{constant}$