Интеграл 4*sin(x)*cos(x) d{x}

1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int 4 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 4 \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

   1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$.

         Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$:

         $\int u\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \left(- u\right)\, du = - \int u\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{2}}{2}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}$

      Метод #2

      1. пусть $u = \sin{\left(x \right)}$.

         Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$:

         $\int u\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{2}$

   Таким образом, результат будет: $- 2 \cos^{2}{\left(x \right)}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- 2 \cos^{2}{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$- 2 \cos^{2}{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$