Интеграл (4-3*x)^5 d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 4 - 3 x$.

      Тогда пусть $du = - 3 dx$ и подставим $- \frac{du}{3}$:

      $\int \frac{u^{5}}{9}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \frac{u^{5}}{3}\right)\, du = - \frac{\int u^{5}\, du}{3}$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int u^{5}\, du = \frac{u^{6}}{6}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{6}}{18}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{\left(4 - 3 x\right)^{6}}{18}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(4 - 3 x\right)^{5} = - 243 x^{5} + 1620 x^{4} - 4320 x^{3} + 5760 x^{2} - 3840 x + 1024$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 243 x^{5}\right)\, dx = - 243 \int x^{5}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{81 x^{6}}{2}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 1620 x^{4}\, dx = 1620 \int x^{4}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Таким образом, результат будет: $324 x^{5}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 4320 x^{3}\right)\, dx = - 4320 \int x^{3}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Таким образом, результат будет: $- 1080 x^{4}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 5760 x^{2}\, dx = 5760 \int x^{2}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $1920 x^{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 3840 x\right)\, dx = - 3840 \int x\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $- 1920 x^{2}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1024\, dx = 1024 x$

      Результат есть: $- \frac{81 x^{6}}{2} + 324 x^{5} - 1080 x^{4} + 1920 x^{3} - 1920 x^{2} + 1024 x$

2. Теперь упростить:

   $- \frac{\left(3 x - 4\right)^{6}}{18}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{\left(3 x - 4\right)^{6}}{18}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$- \frac{\left(3 x - 4\right)^{6}}{18}+ \mathrm{constant}$