Интеграл (4-2*x)^17 d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 4 - 2 x$.

      Тогда пусть $du = - 2 dx$ и подставим $- \frac{du}{2}$:

      $\int \frac{u^{17}}{4}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \frac{u^{17}}{2}\right)\, du = - \frac{\int u^{17}\, du}{2}$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int u^{17}\, du = \frac{u^{18}}{18}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{18}}{36}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{\left(4 - 2 x\right)^{18}}{36}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(4 - 2 x\right)^{17} = - 131072 x^{17} + 4456448 x^{16} - 71303168 x^{15} + 713031680 x^{14} - 4991221760 x^{13} + 25954353152 x^{12} - 103817412608 x^{11} + 326283296768 x^{10} - 815708241920 x^{9} + 1631416483840 x^{8} - 2610266374144 x^{7} + 3322157203456 x^{6} - 3322157203456 x^{5} + 2555505541120 x^{4} - 1460288880640 x^{3} + 584115552256 x^{2} - 146028888064 x + 17179869184$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 131072 x^{17}\right)\, dx = - 131072 \int x^{17}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{17}\, dx = \frac{x^{18}}{18}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{65536 x^{18}}{9}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 4456448 x^{16}\, dx = 4456448 \int x^{16}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{16}\, dx = \frac{x^{17}}{17}$

         Таким образом, результат будет: $262144 x^{17}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 71303168 x^{15}\right)\, dx = - 71303168 \int x^{15}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{15}\, dx = \frac{x^{16}}{16}$

         Таким образом, результат будет: $- 4456448 x^{16}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 713031680 x^{14}\, dx = 713031680 \int x^{14}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{14}\, dx = \frac{x^{15}}{15}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{142606336 x^{15}}{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 4991221760 x^{13}\right)\, dx = - 4991221760 \int x^{13}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{13}\, dx = \frac{x^{14}}{14}$

         Таким образом, результат будет: $- 356515840 x^{14}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 25954353152 x^{12}\, dx = 25954353152 \int x^{12}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{12}\, dx = \frac{x^{13}}{13}$

         Таким образом, результат будет: $1996488704 x^{13}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 103817412608 x^{11}\right)\, dx = - 103817412608 \int x^{11}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{11}\, dx = \frac{x^{12}}{12}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{25954353152 x^{12}}{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 326283296768 x^{10}\, dx = 326283296768 \int x^{10}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{10}\, dx = \frac{x^{11}}{11}$

         Таким образом, результат будет: $29662117888 x^{11}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 815708241920 x^{9}\right)\, dx = - 815708241920 \int x^{9}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{9}\, dx = \frac{x^{10}}{10}$

         Таким образом, результат будет: $- 81570824192 x^{10}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 1631416483840 x^{8}\, dx = 1631416483840 \int x^{8}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{8}\, dx = \frac{x^{9}}{9}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{1631416483840 x^{9}}{9}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 2610266374144 x^{7}\right)\, dx = - 2610266374144 \int x^{7}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

         Таким образом, результат будет: $- 326283296768 x^{8}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 3322157203456 x^{6}\, dx = 3322157203456 \int x^{6}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

         Таким образом, результат будет: $474593886208 x^{7}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 3322157203456 x^{5}\right)\, dx = - 3322157203456 \int x^{5}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{1661078601728 x^{6}}{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 2555505541120 x^{4}\, dx = 2555505541120 \int x^{4}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Таким образом, результат будет: $511101108224 x^{5}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 1460288880640 x^{3}\right)\, dx = - 1460288880640 \int x^{3}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Таким образом, результат будет: $- 365072220160 x^{4}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 584115552256 x^{2}\, dx = 584115552256 \int x^{2}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{584115552256 x^{3}}{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 146028888064 x\right)\, dx = - 146028888064 \int x\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $- 73014444032 x^{2}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 17179869184\, dx = 17179869184 x$

      Результат есть: $- \frac{65536 x^{18}}{9} + 262144 x^{17} - 4456448 x^{16} + \frac{142606336 x^{15}}{3} - 356515840 x^{14} + 1996488704 x^{13} - \frac{25954353152 x^{12}}{3} + 29662117888 x^{11} - 81570824192 x^{10} + \frac{1631416483840 x^{9}}{9} - 326283296768 x^{8} + 474593886208 x^{7} - \frac{1661078601728 x^{6}}{3} + 511101108224 x^{5} - 365072220160 x^{4} + \frac{584115552256 x^{3}}{3} - 73014444032 x^{2} + 17179869184 x$

2. Теперь упростить:

   $- \frac{65536 \left(x - 2\right)^{18}}{9}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{65536 \left(x - 2\right)^{18}}{9}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$- \frac{65536 \left(x - 2\right)^{18}}{9}+ \mathrm{constant}$