Интеграл atan(x/y) d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = \frac{x}{y}$.

      Тогда пусть $du = \frac{dx}{y}$ и подставим $du y$:

      $\int y^{2} \operatorname{atan}{\left(u \right)}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int y \operatorname{atan}{\left(u \right)}\, du = y \int \operatorname{atan}{\left(u \right)}\, du$

         1. Используем интегрирование по частям:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            пусть $u{\left(u \right)} = \operatorname{atan}{\left(u \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = 1$.

            Затем $\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{1}{u^{2} + 1}$.

            Чтобы найти $v{\left(u \right)}$:

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int 1\, du = u$

            Теперь решаем под-интеграл.

         2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{u}{u^{2} + 1}\, du = \frac{\int \frac{2 u}{u^{2} + 1}\, du}{2}$

            1. пусть $u = u^{2} + 1$.

               Тогда пусть $du = 2 u du$ и подставим $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{1}{2 u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\log{\left(u^{2} + 1 \right)}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(u^{2} + 1 \right)}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $y \left(u \operatorname{atan}{\left(u \right)} - \frac{\log{\left(u^{2} + 1 \right)}}{2}\right)$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $y \left(\frac{x \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{y} \right)}}{y} - \frac{\log{\left(\frac{x^{2}}{y^{2}} + 1 \right)}}{2}\right)$

   Метод #2

   1. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left(x \right)} = \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{y} \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$.

      Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{y \left(\frac{x^{2}}{y^{2}} + 1\right)}$.

      Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, dx = x$

      Теперь решаем под-интеграл.

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{x}{y \left(\frac{x^{2}}{y^{2}} + 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{x}{\frac{x^{2}}{y^{2}} + 1}\, dx}{y}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{x}{\frac{x^{2}}{y^{2}} + 1}\, dx = \frac{y^{2} \int \frac{2 x}{y^{2} \left(\frac{x^{2}}{y^{2}} + 1\right)}\, dx}{2}$

         1. пусть $u = \frac{x^{2}}{y^{2}} + 1$.

            Тогда пусть $du = \frac{2 x dx}{y^{2}}$ и подставим $\frac{du y^{2}}{2}$:

            $\int \frac{y^{2}}{2 u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\log{\left(\frac{x^{2}}{y^{2}} + 1 \right)}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{y^{2} \log{\left(\frac{x^{2}}{y^{2}} + 1 \right)}}{2}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{y \log{\left(\frac{x^{2}}{y^{2}} + 1 \right)}}{2}$

2. Теперь упростить:

   $x \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{y} \right)} - \frac{y \log{\left(\frac{x^{2}}{y^{2}} + 1 \right)}}{2}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $x \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{y} \right)} - \frac{y \log{\left(\frac{x^{2}}{y^{2}} + 1 \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$x \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{y} \right)} - \frac{y \log{\left(\frac{x^{2}}{y^{2}} + 1 \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$