Интеграл atan(tan(x)) d{x}

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left(x \right)} = \operatorname{atan}{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$.

   Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

   Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

   1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int 1\, dx = x$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

   $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

3. Теперь упростить:

   $\frac{x \left(- x + 2 \operatorname{atan}{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}\right)}{2}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x \left(- x + 2 \operatorname{atan}{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}\right)}{2}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{x \left(- x + 2 \operatorname{atan}{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}\right)}{2}+ \mathrm{constant}$