sin(x)+1>0 неравенство

Дано неравенство:
$$\sin{\left(x \right)} + 1 > 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее уравнение:
$$\sin{\left(x \right)} + 1 = 0$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\sin{\left(x \right)} + 1 = 0$$
- это простейшее тригонометрическое уравнение
Перенесём $1$ в правую часть уравнения
с изменением знака при $1$
Получим:
$$\sin{\left(x \right)} = -1$$
Это уравнение преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(-1 \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(-1 \right)} + \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n - \frac{\pi}{2}$$
$$x = 2 \pi n + \frac{3 \pi}{2}$$
, где n - любое целое число
$$x_{1} = 2 \pi n - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \frac{3 \pi}{2}$$
$$x_{1} = 2 \pi n - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \frac{3 \pi}{2}$$
Данные корни
$$x_{1} = 2 \pi n - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \frac{3 \pi}{2}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(2 \pi n - \frac{\pi}{2}\right) - \frac{1}{10}$$
=
$$2 \pi n - \frac{\pi}{2} - \frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$\sin{\left(x \right)} + 1 > 0$$
$$\sin{\left(2 \pi n - \frac{\pi}{2} - \frac{1}{10} \right)} + 1 > 0$$

1 - cos(1/10) > 0

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x < 2 \pi n - \frac{\pi}{2}$$

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x_1      x_2

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x < 2 \pi n - \frac{\pi}{2}$$
$$x > 2 \pi n + \frac{3 \pi}{2}$$