sin(x/2)<0 неравенство

Дано неравенство:
$$\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} < 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее уравнение:
$$\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} = 0$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} = 0$$
- это простейшее тригонометрическое уравнение
Получим:
$$\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} = 0$$
Это уравнение преобразуется в
$$\frac{x}{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(0 \right)}$$
$$\frac{x}{2} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(0 \right)} + \pi$$
Или
$$\frac{x}{2} = 2 \pi n$$
$$\frac{x}{2} = 2 \pi n + \pi$$
, где n - любое целое число
Разделим обе части полученного уравнения на
$$\frac{1}{2}$$
получим промежуточный ответ:
$$x = 4 \pi n$$
$$x = 4 \pi n + 2 \pi$$
$$x_{1} = 4 \pi n$$
$$x_{2} = 4 \pi n + 2 \pi$$
$$x_{1} = 4 \pi n$$
$$x_{2} = 4 \pi n + 2 \pi$$
Данные корни
$$x_{1} = 4 \pi n$$
$$x_{2} = 4 \pi n + 2 \pi$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$4 \pi n - \frac{1}{10}$$
=
$$4 \pi n - \frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} < 0$$
$$\sin{\left(\frac{4 \pi n - \frac{1}{10}}{2} \right)} < 0$$

-sin(1/20) < 0

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x < 4 \pi n$$

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x_1      x_2

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x < 4 \pi n$$
$$x > 4 \pi n + 2 \pi$$